Question

Найдите область определения функции
1.f(x)=корень из х^2-6х+8
2.f(x)=log3 4-x^2/x-1
3.f(x)=корень из 25-х^2/log21(x+3)
4.f(x)= корень из -x^2+2 +log4(sinx)

Answer 1

Давайте по порядку рассмотрим каждую функцию и найдем ее область определения.

1. Функция f(x) = √(x^2 - 6x + 8)

Чтобы найти область определения, нужно определить, в каких значениях переменная x является допустимой в данной функции. В данном случае, единственным ограничением будет наличие аргумента под корнем неравенства x^2 - 6x + 8 ≥ 0, так как вещественные числа не имеют квадратного корня из отрицательного числа.

Давайте решим неравенство:
x^2 - 6x + 8 ≥ 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения:
x1,x2 = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a), где a = 1, b = -6, c = 8

x1,x2 = (6 ± √(36 - 32))/2
x1,x2 = (6 ± √4)/2
x1,x2 = (6 ± 2)/2
x1 = 4, x2 = 2

Теперь определите интервалы, для которых неравенство выполняется. Для этого они должны находиться либо слева от первого корня, либо между корнями, либо справа от последнего корня:

-∞ < x < 2 или 2 < x < 4 или x > 4.
Область определения данной функции - это множество всех возможных значений переменной x, которые удовлетворяют неравенству: (-∞; 2) U (2; 4) U (4; +∞).

2. Функция f(x) = log3(4 - x^2)/(x - 1)

Для определения области определения этой функции нужно учесть два условия:
1) Аргумент логарифма должен быть положительным.
2) Знаменатель должен отличаться от нуля.

Первое условие: 4 - x^2 > 0.

Это неравенство можно переписать в виде: -x^2 + 4 > 0.

Домножим обе части неравенства на -1, чтобы избавиться от отрицательного множителя:
x^2 - 4 < 0.

Факторизуем квадратное уравнение:
(x - 2)(x + 2) < 0.

Из графика функции y = (x - 2)(x + 2) видно, что оно положительно между корнями, а отрицательно снаружи корней:

-∞ -2 2 +∞
(-)-----|------o------|------(+)
++ ++
++ ++

Теперь второе условие:

Знаменатель x - 1 не должен равняться нулю. Поэтому x ≠ 1.

Совмещая оба условия, область определения функции f(x) = log3(4 - x^2)/(x - 1) будет:
(-∞; -2) U (-2; 2) U (2; 4) U (4; +∞), при x ≠ 1.

3. Функция f(x) = √(25 - x^2)/log21(x + 3)

По аналогии с предыдущей функцией, определим область определения, учитывая возможные ограничения.

1) Аргумент под корнем должен быть неотрицательным:
25 - x^2 ≥ 0.

Получаем неравенство:
(x - 5)(x + 5) ≥ 0.

2) Знаменатель log21(x + 3) не должен равняться нулю.
Поэтому x + 3 ≠ 1.

Таким образом, область определения функции f(x) = √(25 - x^2)/log21(x + 3) будет:
[-5; -3) U (-3; -2) U (-2; 0) U (0; 2) U (2; 5] (включая граничные точки -5, -3, -2, 0, 2, 5), при x + 3 ≠ 1.

4. Функция f(x) = √(-x^2 + 2) + log4(sin(x))

Для данной функции нужно рассмотреть два условия:
1) Аргумент под корнем должен быть неотрицательным:
-x^2 + 2 ≥ 0.

Перепишем это неравенство: -x^2 ≥ -2.

Меняем знак обеих частей неравенства, но при этом меняем и его неравенство с > на <:
x^2 ≤ 2.

2) Функция логарифма sin(x) должна быть определена.
То есть аргумент sin(x) должен быть в пределах от -∞ до +∞.

Совмещая оба условия получаем область определения:
x ∈ (-√2; √2) и sin(x) ≠ 0.

Решением sin(x) ≠ 0 является исключение точек x, для которых sin(x) = 0:
x ≠ nπ, где n - любое целое число.

Область определения данной функции будет:
(-√2; -3π/2) ∪ (-3π/2; -π/2) ∪ (-π/2; π/2) ∪ (π/2; 3π/2) ∪ (3π/2; √2).

Вот, мы рассмотрели все четыре функции и определили их области определения.