Question

Известно, что sina+cosa=0.5 . найдите значение cos4a.

Answer 1

$\cos(4a)= \cos^2(2a) - \sin^2(2a) =$
$= (\cos^2(a) - \sin^2(a))^2 - (2\sin(a)\cos(a))^2=$
$= (\cos(a) - \sin(a))^2\cdot (\cos(a)+\sin(a))^2 - (2\sin(a)\cos(a))^2 = A$
По условию:
$\sin(a) + \cos(a) = 0{,}5$
$A = (\cos(a) - \sin(a))^2 \cdot 0{,}5^2 - (2\sin(a)\cos(a))^2 =$
$= (\cos^2(a) - 2\sin(a)\cos(a) + \sin^2(a))\cdot 0{,}25 -$
$- (2\sin(a)\cos(a))^2 = 0{,}25\cdot (1 - 2\sin(a)\cos(a)) -$
$- (2\sin(a)\cos(a))^2 = B$

Возведем это равенство $\sin(a) + \cos(a) = 0{,}5$ в квадрат:
$(\sin(a) + \cos(a))^2 = 0{,}25$
$\sin^2(a) + 2\sin(a)\cos(a) + \cos^2(a) = 0{,}25$
$1 + 2\sin(a)\cos(a) = 0{,}25$
$2\sin(a)\cos(a) = 0{,}25 - 1 = -0{,}75$
Подставляем найденное значение в B:
$B = 0{,}25\cdot (1 -(-0{,}75)) - (-0{,}75)^2 =$
$= 0{,}25\cdot (1+0{,}75) - 0{,}75^2 =$
$= 0{,}25\cdot 1{,}75 - 0{,}5625 =$
$= 0{,}4375 - 0{,}5625 = -0{,}125$