Question

1)lim 3x / (корень из (5-x) - корень из (5+x)) при x стремящемся к 0 2)lim (1/(x-2) - 4/(x^2-4)) при x стремящемся к 2 3)lim arcsin5x/(x^2-x) при x стремящемся к 0 4)lim ((1-x)/(2-x))^3x при x стремящемся к бесконечности

Answer 1

1) Неопределённость 0/0 раскрываем умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое знаменателю, т.е. на $\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x}$
$\lim_{n \to \inft0} \frac{3x}{\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x}} =\lim_{n \to \inft0} \frac{3x*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})}{(\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x})*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})} =$
В знаменателе разложение разности квадратом, используем это:
$=\lim_{n \to \inft0} \frac{3x*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})}{(5-x) - (5+x)} =\lim_{n \to \inft0} \frac{3x*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})}{-2x} =$
Сокращаем:
$=- \frac{3}{2} \lim_{n \to \inft0} (\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x}) =- \frac{3}{2} (\sqrt{5-0} + \sqrt{5+0})=$
$=- \frac{3}{2} (\sqrt{5-0} + \sqrt{5+0})=- \frac{3}{2}* 2\sqrt{5}=-3\sqrt{5}$

2) Неопределённость (∞-∞) раскрываем, приводя к общему знаменателю:
$\lim_{n \to \inft2} ( \frac{1}{x-2} - \frac{4}{ x^{2} -4})= \lim_{n \to \inft2} \frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)} =\lim_{n \to \inft2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =$
Сокращаем:
$=\lim_{n \to \inft2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

3) Неопределённость 0/0 раскрываем по первому замечательному пределу, вернее по одному из следствий из него, а именно: $\lim_{n \to \inft0} \frac{arcsinx}{x} =1$
$\lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{ x^{2} -x}=\lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{ x(x-1)}=\lim_{n \to \inft0} \frac{1}{x-1} * \lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{ x}=$
Знаменатель разложили на множители, затем по свойству предел произведения равен произведению пределов, разбили на 2 предела:
$=-1 * \lim_{n \to \inft0} \frac{5*arcsin5x}{5 x}=$
Первый предел равен минус единице, второй приводим к первому замечательному пределу домножением на 5 числителя и знаменателя.
$=-1 *5* \lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{5 x}=-1*5*1=-5$

4) Неопределённость 1 в степени ∞ раскрывается с второго замечательного предела. Но сначала путём преобразований приведём к виду, когда его можно будет применить.
В числителе добавили и вычли 1, затем сгруппировали и разделили.
$\lim_{n \to \infty} ( \frac{1-x}{2-x} ) ^{3x} = \lim_{n \to \infty} (\frac{(2-x)-1}{2-x} ) ^{3x} = \lim_{n \to \infty} ( 1-\frac{1}{2-x} ) ^{3x} =$
Потом поменяли знак второго слагаемого
$= \lim_{n \to \infty} ( 1+\frac{1}{x-2} ) ^{3x} =$
Сделаем замену t=1/(x-2), при этом t →0 и  $x= \frac{1}{t} +2$
$= \lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{3*( \frac{1}{t} +2)}=\lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{ \frac{3}{t} +6}=$
Отделим целочисленную степень (6):
$=\lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{6}*( 1+t) ^{ \frac{3}{t}}=lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{6}*lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{ \frac{3}{t}}=$
Разбили на произведение пределов, первый из которых равен 1, второй по второму замечательному пределу:
$=1*lim_{n \to \infty} (( 1+t) ^ \frac{1}{t} )^3=(lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^ \frac{1}{t} )^3=$
Сначала можно вычислить предел, а затем возвести его в степень:
$=(e )^3=e ^{3}$