Question

Если к любому трехзначному числу приписать слева любую, кроме нуля, цифру, то получиться четырёхзначное число. если к тому же трёхзначному числу приписать справа ту же цифру, то получиться второе четырёхзначное число. если теперь из большего четырёхзначного числа вычесть меньшее, то разность разделиться на 9. докажите

Answer 1

Исходное число а
Цифра n
Первое число n*1000+a
Второе число а*10+n
Разница
n*1000+a-a*10-n = 999n-9a= 9*(111n+a) делится на девять

Answer 2

Пусть $a_1a_2a_3$ - данное трёхзначное число, где $a_1,a_2,a_3$ цифры от 0 до 9 (при этом $a_1\ne 0$). 

Пусть $b_1$ - данная приписанная цифра.

Также заметим что, $a_1a_2a_3= 100a_1 + 10a_2+a_3$.

Отсюда следует, 

$b_1a_1a_2a_3-a_1a_2a_3b_1 = \\\\=1000b_1 +100a_1 + 10a_2+a_3-(1000a_1 + 100a_2+10a_3+b_1)=\\\\=1000b_1-b_1+100a_1-1000a_1+10a_2-100a_2+a_3-10a_3=\\\\=999b_1-900a_1-90a_2-9a_3=9(111b_1-100a_1-10a_2-a_3)$

Что и требовалось доказать.