Используя эти тождества, мы можем преобразовать числитель:
sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)
= sin2a + sin(π/2 + a) - sin(π/a)
= sin2a + sin(π/2)cosa + cos(π/2)sina - sin(π/a) (воспользуемся тождеством 2)
= sin2a + cosa + sina - sin(π/a)
Теперь рассмотрим знаменатель:
1 + sin(3π/2 + a)
Также воспользуемся тождеством 2, чтобы преобразовать знаменатель:
1 + sin(3π/2 + a)
= 1 + sin(π/2 + a + π)
= 1 + sin(π/2)cos(π + a) + cos(π/2)sin(π + a)
= 1 + sina - cosa
Теперь, подставим полученные преобразования обратно в исходное уравнение:
(sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)) / (1 + sin(3π/2 + a))
= (sin2a + cosa + sina - sin(π/a)) / (1 + sina - cosa)
Далее, для удобства разделим числитель и знаменатель на (1-sina):
((sin2a + cosa + sina - sin(π/a)) / (1-sina)) / ((1+sina-cosa) / (1-sina))
Когда мы делим одну дробь на другую, это эквивалентно умножению первой дроби на обратную к второй. Поэтому перепишем это уравнение как:
((sin2a + cosa + sina - sin(π/a)) / (1-sina)) * ((1-sina) / (1+sina-cosa))
В числительном у нас бросается пара сокращений:
(sin2a + cosa + sina - sin(π/a))
Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
1) sin2a = (sin a)^2 (известное тригонометрическое тождество)
2) cosa = cos a
3) sina = sin a
4) sin(π/a) = sin a (известное тригонометрическое тождество)
Подставим значения обратно в числитель и получим:
((sin a)^2 + cos a + sin a - sin a) / (1-sin a)
В числителе, сокращая слагаемые:
((sin a)^2 + cos a) / (1-sin a)
Здесь нам может помочь еще одно тригонометрическое тождество:
sin^2x + cos^2x = 1
Поэтому можем заменить (sin a)^2 на (1-cos^2 a):
((1-cos^2 a) + cos a) / (1-sin a)
= 1 - cos^2 a + cos a / 1 - sin a
Опять здесь нам может пригодиться тригонометрическое тождество:
1 - cos^2x = sin^2x
Поэтому можем заменить (1-cos^2 a) на sin^2 a:
(sin^2 a + cos a) / (1 - sin a)
Теперь мы видим, что числитель содержит сокращаемые слагаемые:
(sin^2 a + cos a) = 1
Подставим это обратно и получаем:
1 / (1 - sin a)
Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:
(sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)) / (1 + sin(3π/2 + a))
Сначала рассмотрим числитель:
sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)
Чтобы продолжить доказательство, нам понадобятся некоторые тригонометрические тождества, такие как:
1) sin(α - β) = sinα*cosβ - cosα*sinβ
2) sin(α + β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ
3) cos(α - β) = cosα*cosβ + sinα*sinβ
Используя эти тождества, мы можем преобразовать числитель:
sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)
= sin2a + sin(π/2 + a) - sin(π/a)
= sin2a + sin(π/2)cosa + cos(π/2)sina - sin(π/a) (воспользуемся тождеством 2)
= sin2a + cosa + sina - sin(π/a)
Теперь рассмотрим знаменатель:
1 + sin(3π/2 + a)
Также воспользуемся тождеством 2, чтобы преобразовать знаменатель:
1 + sin(3π/2 + a)
= 1 + sin(π/2 + a + π)
= 1 + sin(π/2)cos(π + a) + cos(π/2)sin(π + a)
= 1 + sina - cosa
Теперь, подставим полученные преобразования обратно в исходное уравнение:
(sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)) / (1 + sin(3π/2 + a))
= (sin2a + cosa + sina - sin(π/a)) / (1 + sina - cosa)
Далее, для удобства разделим числитель и знаменатель на (1-sina):
((sin2a + cosa + sina - sin(π/a)) / (1-sina)) / ((1+sina-cosa) / (1-sina))
Когда мы делим одну дробь на другую, это эквивалентно умножению первой дроби на обратную к второй. Поэтому перепишем это уравнение как:
((sin2a + cosa + sina - sin(π/a)) / (1-sina)) * ((1-sina) / (1+sina-cosa))
В числительном у нас бросается пара сокращений:
(sin2a + cosa + sina - sin(π/a))
Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
1) sin2a = (sin a)^2 (известное тригонометрическое тождество)
2) cosa = cos a
3) sina = sin a
4) sin(π/a) = sin a (известное тригонометрическое тождество)
Подставим значения обратно в числитель и получим:
((sin a)^2 + cos a + sin a - sin a) / (1-sin a)
В числителе, сокращая слагаемые:
((sin a)^2 + cos a) / (1-sin a)
Здесь нам может помочь еще одно тригонометрическое тождество:
sin^2x + cos^2x = 1
Поэтому можем заменить (sin a)^2 на (1-cos^2 a):
((1-cos^2 a) + cos a) / (1-sin a)
= 1 - cos^2 a + cos a / 1 - sin a
Опять здесь нам может пригодиться тригонометрическое тождество:
1 - cos^2x = sin^2x
Поэтому можем заменить (1-cos^2 a) на sin^2 a:
(sin^2 a + cos a) / (1 - sin a)
Теперь мы видим, что числитель содержит сокращаемые слагаемые:
(sin^2 a + cos a) = 1
Подставим это обратно и получаем:
1 / (1 - sin a)
Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:
cosec x = 1/sin x
Подставим его и получим окончательный ответ:
cosec(-a) = 1 / (1 - sin a)
Таким образом, мы доказали, что:
(sin2a + cos(3π/2 - a) - sin(π/a)) / (1 + sin(3π/2 + a)) = cosec(-a)