Question

Докажите, что 3n^2-n+2 кратно 2 2n^3+4n-9 кратно 3 (n это целое число)

Answer 1

1. $3n^2-n+2=n(3n-1)+2$
Если n - чётное, то n(3n-1)+2 делится на 2.
Если n - нечётное, то множитель (3n-1) чётный и всё выражение чётно.

2. Преобразуем выражение
$2n^3+4n-9=2n^3+4n+6-15=2(n^3+2n+3)-15$

Выражение n³+2n+3 раскладывается на множители. Для разложения надо найти корни уравнения n³+2n+3=0. Здесь срабатывает метод подбора - корнем уравнения является делитель свободного члена. Легко видеть, что подходит n = -1. Значит, один множитель будет (n+1), другой находим делением многочлена (n³+2n+3) на (n+1):
n³+2n+3 = (n+1)(n²-n+3)

Продолжим преобразования:
$2(n^3+2n+3)-15=2(n+1)(n^2-n+3)-15= \\ \\ =2(n+1)[(n(n-1)+3]-15= \\ \\ =2(n+1)(n(n-1)+6(n+1)-15$

Получаем три слагаемых. В первом слагаемом наблюдаем произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит оно делится на три. Второе и третье слагаемые тоже делятся на три - это очевидно.

Итак, исходное выражение делится на 3 при любых натуральных числах.