Выразим y обоих случаях:
y = 1/2*x² - 1/2
у=x+1
Найдем точки соприкосновения графиков:
х+1 = 1/2*x² - 1/2
2х+2 = х² -1
х²-1-2х-2=0
х²-2х-3=0
D = 4+12=16 - 2 корня
х1 = (2+4)/2 = 3
х2= (2-4)/2 = -1
Таким образом, графики фунции пересеаются в двух точках х=-1 и х=3, причем график функции у=x+1 будет расположен выше графика функции y = 1/2*x² - 1/2 на этом отрезке.
Теперь можем найти площадь фигуры:
S = ∫₋₁³ (x+1-(1/2*x² - 1/2))dx = ∫₋₁³ (x+1-1/2*x² + 1/2 )dx = ∫₋₁³ (x-1/2*x² +3/2)dx = (1/2*x² - 1/6*x³+ 3/2*x) |₋₁³ = (9/2 - 27/6 +9/2) - (1/2 + 1/6 - 3/2) = 9/2 +5/6 = 27/6 + 5/6 = 32/6 = 16/3 = 5ц1/3
Для того чтобы решить неравенство нужно для начала решить уравнение:
5^2x-6*5^x+5=0
Уравнение напоминает квадратное, а чтобы проще в записи решения данного уравнения, произведем замену, пусть 5^х = с, тогда уравнение приобретает вид:
С^2-6с+5 =0
Дискриминант D равен:
D=6^2-4*1*5=36-20=16, 16>0, что говорит о том, что уравнение С^2-6с+5 =0
Имеет два решения:
1.с=(6+√16)/2*1=10/2=5
2.с=(6-√16)/2*1=2/2=1
Вспоминаем, что с=5^x, запишем неравенство следующим образом:
(5^x-5)(5^x-1)>0
Значит
Если 5^x-5>0 то 5^x-1>0
Если 5^x>5 то 5^x>1
Значит х>1
Или
Если 5^x-5<0 то 5^x-1<0
Если 5^x<5 то 5^x<1
Значит x<0
ответ: х>1 или x<0
(x-(p+0,5))^2<=p^2-p+0,25
-p+0,5<=x-(p+0,5)<=p-0,5
1<=x<=2p
При p=3 множество решений содержит числа 1,2,3,4,5,6
если 3<=р<3,5 количество натуральных решений такое же.
При других натуральных р количество натуральных решений больше или меньше, поэтому
ответ: р=3