1 / cos(x)^2 - 3 / cos(x) + 2 = 0
так как cos(x) != 0, так как иначе было бы деление на 0, а этого делать нельзя, то умножим обе части уравнения на cos(x)^2. Получаем:
1 - 3cos(x) + 2cos(x)^2 = 0
переставим слагаемые в удобном для нас виде:
2cos(x)^2 - 3cos(x) + 1 = 0
Заметим, что это квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:
D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1
cos_1(x) = (-(-3) + sqrt(1)) / (2 * 2) = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
cos_2(x) = (-(-3) - sqrt(1)) / (2 * 2) = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2
cos(x) = 1 при x = 2пn, где n - целое
cos(x) = 1 / 2 при x = п / 4 + 2пk, где k - целое
Наш ответ это совокупность решений для этих двух корней.
ответ: x = 2пn, где n - целое U x = п / 4 + 2пk, где k - целое
Найдите сумму корней уравнения:
( ( 3x -1 )/x )² - ( 3x -1 )/(x -1 ) - 12( x/(x-1) ) ² = 0
ответ: - 4
Объяснение: ОДЗ: x ≠ 0 ; x ≠ 1 .
( ( 3x -1 )/x )² - ( 3x -1 )/(x -1 ) - 12( x/(x-1) ) ² = 0 ⇔
( ( 3x -1 ) / x )² - ( x / (x-1) )*( ( 3x -1 ) / x ) * - 12( x / (x-1) ) ² = 0
замена: ( 3x -1 )/x = u , x/(x-1) = v
u² - v *u - 12v ² =0 ; D =v² -4*(-12v² )=49v² = (7v)²
u₁ , ₂ = ( v ± 7v) / 2
a) u₁ = -3v
(3x -1 )/x = -3x / (x-1) ⇔3x²- 4x +1 = - 3x² ⇔ 6x²- 4x +1 = 0
Не имеет действительных решений: D₁ =D/4 =(-2)² -6 = -2< 0
* * * ! ? x₁ +x₂ = - (-4/6) = 2/3 * * *
б) u₂ = 4v
(3x -1 )/x = 4x / (x-1) ⇔3x² -4x +1 = 4x² ⇔ x² +4x - 1 =0
x₁ + x₂ = - 4
