Question

Докажите, что многочлен (x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) принимает неотрицательное значение при любых численные значениях входящих в него букв (разложить на множители и объяснить все по действиям).

Answer 1

1) Пусть y=0; тогда выражение превращается в $2x^6 \geq 0.$

2) Пусть $y\not= 0$. Преобразуем выражение к виду

$y^6\left((\frac{x}{y})^2-\frac{x}{y}+1\right)^3+ y^6\left((\frac{x}{y})^2+\frac{x}{y}+1\right)^3;$

замена $\frac{x}{y}=t$ приводит его к виду 

$y^6(t^2-t+1)^3+y^6(t^2+t+1)^3.$

Оба выражения, стоящие в скобках, неотрицательны, поскольку их дискриминанты отрицательны, а старшие коэффициенты положительны. А отсюда уже следует неотрицательность выражения целиком. 

Answer 2

Привет, какой интересный математический вопрос у тебя! Давай разберем его пошагово и постараемся найти решение.

Мы должны доказать, что многочлен (x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) всегда принимает неотрицательное значение для любых численных значений переменных x и y. Для начала, давай подробно разложим этот многочлен на множители, чтобы упростить его вид.

1. Раскроем скобку (x^2-xy+y^2)^3:
(x^2-xy+y^2)^3 = (x^2-xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2-xy+y^2)

2. Упростим каждый множитель:
(x^2-xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = (x^2-xy+y^2)^2 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)
= x^4 - 2x^3y + 2x^2y^2 - 2x^3y + 4x^2y^2 - 2xy^3 + 2x^2y^2 - 2xy^3 + y^4
= x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4

3. Рассмотрим второй множитель (x^2+xy+y^2):

4. Теперь сложим эти два многочлена:
(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) = (x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4) + (x^2+xy+y^2)
= x^4 - 4x^3y + 7x^2y^2 - 3xy^3 + y^4 + x^2 + xy + y^2

Мы получили упрощенный вид исходного многочлена. Теперь давай рассмотрим его значение.

5. Заметим, что каждая степень переменной x (от x^4 до x^2) и переменной y (от y^4 до y^2) положительна или равна нулю. Также, каждый коэффициент перед степенями переменных также неотрицателен.
- Коэффициенты перед x^4, x^3y, xy^3 и y^4 равны 1, -4, -3 и 1 соответственно, и они неотрицательны.
- Коэффициенты перед x^2, x и y^2 равны 1, 1 и 1 соответственно, и они также являются неотрицательными.

6. Таким образом, каждое слагаемое в упрощенном многочлене неотрицательно, и их сумма также неотрицательна.

Вот и ответ! Мы доказали, что многочлен (x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) принимает неотрицательное значение при любых численных значениях переменных x и y.