Question

Найти корни уравнений: ( \sqrt{2} cosx-1)(2cosx+1)=0 и найти корни на промежутке [9п/2 ; 6п]

Answer 1

$( \sqrt{2}Cosx-1)(2Cosx+1)=0$
1) $\sqrt{2}Cosx - 1 = 0$
$Cosx = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
$x = + - arcCos \frac{1}{ \sqrt{2} }+2 \pi n$
$x = + - \frac{ \pi }{4}+2 \pi n$
2) $2Cosx + 1 = 0$
$Cosx = - \frac{1}{2}$
$x = + - arcCos(- \frac{1}{2})+2 \pi n$
$x = + - \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n$
Найдём корни из заданного промежутка:
1) $\frac{9 \pi }{2} \leq \frac{ \pi }{4} +2 \pi n \leq 6 \pi$
18π ≤π + 8πn ≤ 24π
18 ≤ 1 + 8n ≤ 24
17 ≤ 8n ≤ 23
$2 \frac{1}{8} \leq n \leq 2 \frac{7}{8}$здесь корней нет
2) $\frac{9 \pi }{2} \leq - \frac{ \pi }{4} +2 \pi n \leq 6 \pi$
18π ≤ - π + 8πn ≤ 24π
18 ≤ - 1 + 8n ≤ 24
19 ≤ 8n ≤ 25
$2 \frac{3}{8} \leq n \leq 3 \frac{1}{8}$
Подставим n = 3 получим корень
$- \frac{ \pi }{4} +2 \pi *3=- \frac{ \pi }{4} +6 \pi = \frac{23 \pi }{4}$
3) $\frac{9 \pi }{2} \leq \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq 6 \pi$
27π ≤ 4π + 12πn ≤ 36π
27 ≤ 4 + 12n ≤ 36
23 ≤ 12n ≤ 32
$1 \frac{11}{12} \leq n \leq 2 \frac{8}{12}$
Подставим n = 2, получим корень
$\frac{2 \pi }{3}+2 \pi *2= \frac{2 \pi}{3} +4 \pi = \frac{14 \pi }{3}$
4) $\frac{9 \pi }{2} \leq - \frac{2 \pi }{3}+2 \pi n \leq 6 \pi$
27π ≤ - 4π +12πn ≤ 36π
27 ≤ - 4 + 12n ≤ 36
31 ≤ 12n ≤ 40
$2 \frac{7}{12 } \leq n \leq 3 \frac{4}{12}$
Подставим n = 3 , получим корень
$- \frac{2 \pi }{3} +2 \pi *3=- \frac{2 \pi }{3}+6 \pi = \frac{16 \pi }{3}$
Из заданного промежутка найдены три корня:
$\frac{23 \pi }{4} ; \frac{14 \pi }3} ; \frac{16 \pi }{3}$