Question

Найдите все значения а, при каждом из которых сумма квадратов двух различных действительных корней уравнения ах2+4х-3=0 больше 10

Answer 1

Уравнение $ax^2+4x-3=0$

Во-первых, а ≠ 0, иначе будет только одно решение.
Во-вторых, дискриминант д.б. больше нуля, чтобы было два различных действительных корня исходного уравнения, т.е.:

$D = 4^2 -4*a*(-3) = 16+12a \ \textgreater \ 0 \\ \\ a \ \textgreater \ - \frac{4}{3}$

В-третьих, используем Виета:

$x_1 + x_2 = - \frac{4}{a} \\ \\ x_1 * x_2 = \frac{-3}{a} = - \frac{3}{a}$

Возведём обе части первого уравнения в квадрат:

$(x_1 + x_2)^2 = (- \frac{4}{a} )^2 \\ \\ x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 = \frac{16}{a^2} \\ \\ x_1^2 + x_2^2 = \frac{16}{a^2} - 2x_1 x_2$

При этом:

$x_1 * x_2 = - \frac{3}{a} \\ \\ 2x_1 x_2 = - \frac{6}{a}$

И получаем такое выражение для суммы квадратов корней:

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{16}{a^2} - (- \frac{6}{a}) = \frac{16}{a^2} + \frac{6}{a} = \frac{6a + 16}{a^2} \ \textgreater \ 10 \\ \\ 10a^2 \ \textless \ 6a + 16 \\ \\ 10a^2 -6a -16 \ \textless \ 0 \\ \\ 5a^2 -3a -8 \ \textless \ 0$

Решаем неравенство. В нуль выражение обращается при следующих значениях а.

$5a^2 -3a -8 \ \textless \ 0 \\ \\ D = (-3)^2 - 4*5*(-8) = 169 \\ \\ a_1 = \frac{3- \sqrt{169} }{2*5} = -1 \\ \\ a_2 = \frac{3+ \sqrt{169} }{2*5} = 1,6$

Само неравенство выполняется при $-1 \ \textless \ a \ \textless \ 1,6$.
С учётом ограничений в пунктах 1 и 2: a≠0 и $a \ \textgreater \ - \frac{4}{3}$, получаем общее решение:

a ∈ (-1; 0) ∪ (0; 1,6)