Question

Решите систему уравнений {3x^2−2xy−y^2=4 {x^2+3xy+3y^2=1

Answer 1

$\left \{ {{3x^2-2xy-y^2=4\, |\cdot (-1)} \atop {x^2+3xy+3y^2=1\, |\cdot 4}} \right. \; \; \left \{ {{-3x^2+2xy+y^2=-4} \atop {4x^2+12xy+12y^2=4}} \right. \; \oplus \; \left \{ {{x^2+14xy+13y^2=0} \atop {x^2+3xy+3y^2=1}} \right. \\\\x^2+14xy+13y^2=0\, |:y^2\ne 0\\\\(\frac{x}{y})^2+14\cdot \frac{x}{y} +13=0\\\\t=\frac{x}{y} \; ,\; \; t^2+14t+13=0\; ,\; \; t_1=-13\; ,\; t_2=-1\\\\a)\; \; \frac{x}{y} =-13\; ,\; \; x=-13y\; ,\\\\x^2+3xy+3y^2=(-13y)^2-3\cdot 13y^2+3y^2=133y^2\; ,\; 133y^2=1$

$y^2= \frac{1}{133} \; ,\; \; y=\pm \frac{1}{\sqrt{133}} \\\\x=-13\cdot (\pm \frac{1}{\sqrt{133}} )=\mp \frac{13}{\sqrt{133}} \\\\b)\; \; \frac{x}{y} =-1\; ,\; \; x=-y\\\\x^2+3xy+3y^2=(-y)^2-3y^2+3y^2=y^2\; ,\; \; y^2=1\\\\y=\pm 1\\\\x=-y=\mp 1\\\\Otvet:\; \; (-1,1)\; ,\; \; (1,-1)\; ,\; \; ( \frac{1}{\sqrt{133}},-\frac{13}{\sqrt{133}} )\; ,\; \; (-\frac{1}{\sqrt{133}},\frac{13}{\sqrt{133}})\; .$

Answer 2

$\left \{ {{3x^2-2xy-y^2=4} \atop x^2+3xy+3y^2=1}} \right.$
Умножим первое на 3, второе на 2 и сложим.
Получим уравнение эллипса:
$11x^2+3y^2=4$
Заметим, что он проходит через 4 точки: x=+-1; y=+-1
Второе уравнение представим в виде:
$(x+ \frac{3}{2}y)^2+ \frac{3}{4}y^2=1$
Графиком этой фигуры также является эллипс, не совпадающий с первым. Точек пересечения у двух эллипсов не более 4-х.
Заметим, что этот эллипс, заданная этим уравнением, проходит через точки (-1:1) и (1;-1).
Сложным методом подбора получается, что также подходят точки 
$x= \frac{13}{ \sqrt{133} } ; y=-\frac{1}{ \sqrt{133} }$ и $x= -\frac{13}{ \sqrt{133} } ; y=\frac{1}{ \sqrt{133} }$