Question

Найти множество всех первообразных для функции q(x)=√(4x+5)-x q(x)=√(6x-1)+3x

Answer 1

Интегралы от степенных функций берутся по правилу

$\int\limits {x^n} \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}+C$

$\int\limitsb { (\sqrt{ 4x+5}-x)} \, dx = \int\limitsb { \sqrt{ 4x+5}} \, dx -\int\limitsb {x} \, dx = \\ \\ = \frac{1}{4} \int\limitsb {(4x+5)^ \frac{1}{2} } \, d(4x +5)-\int\limitsb {x} \, dx = \\ \\ = \frac{1}{4} \frac{1}{ \frac{1}{2} +1} (4x+5)^ {\frac{1}{2}+1} } - \frac{1}{1+1} x^{1+1} + C = \frac{1}{6}(4x+5)^ {\frac{3}{2}} } - \frac{1}{2}x^2+C$

Аналогично второй

$\int\limitsb { (\sqrt{ 6x-1}+3x)} \, dx = \int\limitsb { \sqrt{ 6x-1}} \, dx +\int\limitsb {3x} \, dx = \\ \\ = \frac{1}{6} \int\limitsb {(6x-1)^ \frac{1}{2} } \, d(6x -1) +\int\limitsb {3x} \, dx = \\ \\ = \frac{1}{6} \frac{1}{ \frac{1}{2} +1} (6x-1)^ {\frac{1}{2}+1} } + 3\frac{1}{1+1} x^{1+1} + C = \frac{1}{9}(6x-1)^ {\frac{3}{2}} } + \frac{3}{2}x^2+C$

Для применения табличного интеграла от степенной функции, использовался приём, когда дифференциал приводится к виду выражения под интегралом.