Решить неравенство
1) log₃(2^(x/2) +2) - log₉(2ˣ -12) > 1 ;
2) log₁₆ (3ˣ -5 ) - log₄ (3^(x/2) +5) ≤ -1.
ответ: 1) (2+log₂³ ; 4 ) ; 2) x ∈ (log₃⁵; 2 ] .
Объяснение:
1) ОДЗ : 2ˣ -12 >0 , || 2ˣ >4*3 ; x > 2+log₂³ ||
Замена: t =2^(x/2) > 0 || 2ˣ = t² ||
log₃(t +2) - log₉(t² -12) >1 ⇔log₃(t +2) -(1/2)*log₃(t² -12) >1 ⇔
2log₃(t +2) - log₃(t² -12) >2 ⇔log₃(t +2)² > og₃(t² -12) +og₃9 ⇔
log₃(t²+4t+4) > og₃9(t² -12) . || 3>1 || t²+4*t+4 > 9(t² -12) ⇔
8t² - 4t -112 < 0 ⇔ 2t²- t -28 < 0 ⇔2(t +7/2)( t - 4) <0 || 2(t +7/2) >0 ||
⇔ t-4 <0 ⇔ t< 4 обратная замена: 2^(x/2) < 4 ⇔ 2^(x/2) <2² ⇔x/2 <2 ⇔
x < 4, учитывая ОДЗ → ответ : 2+log₂³ < x < 4 , иначе x∈ (2+log₂³ ; 4 ).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2) ОДЗ : 3ˣ -5 >0 , || 3ˣ >5 ; x > log₃⁵ ||
Замена: t =3^(x/2) > 0 || 3ˣ = t² ||
log₁₆ (t² -5 ) - log₄ (t +5) ≤ -1 ⇔(1/2)og₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5) - 1 ⇔
log₄ (t² -5 ) ≤ 2log₄ (t +5) - 2 ⇔log₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5)² - log₄ ¹⁶ ⇔
log₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5)² /16 || 4>1 || ⇔ t² -5 ≤ (t² +10t +25)/16 ⇔
16t² - 80 ≤ t² +10t +25 ⇔15t² -10t -105 ≤ 0 ⇔3t² -2t -21 ≤ 0 ⇔
3(t +7/3)((t - 3) ≤ 0 || t +7/3 >0 || ⇔ t - 3 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 .обратная замена: 3^(x/2) ≤ 3 ⇔ ⇔x/2 ≤1 ⇔x ≤ 2 , учитывая ОДЗ → ответ : log₃⁵ < x ≤ 2 , иначе x∈ (log₃⁵ ; 2] .
1)Согласно графиков координаты точки пересечения (2,8; 3,1).
Решение системы уравнений (2,8; 3,1).
2)Решение системы уравнений (26,5; -5,5).
Объяснение:
1)Решить систему уравнений графически:
2х+3у=15
3х-4у= -4
Построить графики. Графики линейной функции, прямые линии. Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу. Для построения прямой достаточно двух точек, для точности построения определим три.
Прежде преобразуем уравнения в более удобный для вычислений вид:
2х+3у=15 3х-4у= -4
3у=15-2х -4у= -4-3х
у=(15-2х)/3 4у=4+3х
у=(4+3х)/4
Таблицы:
х -3 0 3 х -4 0 4
у 7 5 3 у -2 1 4
Согласно графиков координаты точки пересечения (2,8; 3,1).
Решение системы уравнений (2,8; 3,1).
2)Решить систему уравнений:
(х+у+4)/5 + (х-у-4)/7=9
(х+у+4)/5 - (х-у-4)/7=1
Умножить первое и второе уравнения на 35, чтобы избавиться от дробного выражения:
(х+у+4)*7 + (х-у-4)*5=9*35
(х+у+4)*7 - (х-у-4)*5=1*35
Раскрыть скобки:
7х+7у+28+5х-5у-20=315
7х+7у+28-5х+5у+20=35
Привести подобные члены:
12х+2у=307
2х+12у= -13
Умножить второе уравнение на -6, чтобы решить систему методом сложения:
12х+2у=307
-12х-72у=78
Складываем уравнения:
12х-12х+2у-72у=307+78
-70у=385
у=385/-70
у= -5,5
Теперь подставить вычисленное значение у в любое из двух уравнений системы и вычислить х:
2х+12у= -13
2х= -13-12у
2х= -13-12*(-5,5)
2х= -13+66
2х=53
х=26,5
Решение системы уравнений (26,5; -5,5).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у показала, что решение удовлетворяет уравнениям системы.
Т. к. a = -2 < 0, ветки направлены вниз.
Это значит, что функция возрастает до своего максимального значения, а потом бесконечно убывает.
Свое максимальное значение функция принимает в координате
xв = -b/(2a) = -4/(2*-2) = 1
В этой точке ее значение yв = -2*1 + 4*1 - 1 = 4 - 3 = 1.
ответ: возрастает на промежутке (-бесконечность; 1), убывает на промежутке (1; бесконечность).