Question

Решите уравнение 27^((1- cos (2х) + cos^2 (2х) - cos^3 (2х) +⋯+ (-1)^n * cos^n (2х) +⋯) =9

Answer 1

27^((1- cos (2х) + cos^2 (2х) - cos^3 (2х) +⋯+ (-1)^n * cos^n (2х) +⋯) =9

$27^{(1- cos (2x) + cos^2 (2x) - cos^3 (2x) +⋯+ (-1)^n * cos^n (2x) +...)}} =9$

Показатель степени - это сумма геометрической прогрессии:   
b₁=1; q=-cos(2x).

$|q|=|-cos(2x)| \leq 1$

Рассмотрим два случая.
1) |q|=|-cos(2x)| = 1
   Сумма геометрической прогрессии
    $S = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{1 * (1 - (-1)^n)}{1 + 1} = \frac{1-(-1)^n}{2}$
   Для четных n сумма прогрессии равна нулю:
        $27^0 = 1 \neq 9$  - уравнение решений не имеет.
   Для нечетных n сумма прогрессии равна 1:
        $27^1 = 27 \neq 9$  - уравнение решений не имеет.

2) |q|=|-cos(2x)| < 1
   Геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.
   Сумма прогрессии
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 + cos(2x)}$
$27^{\frac{1}{1 + cos(2x)}}= 9 \\ \\ 3^{\frac{3}{1 + cos(2x)}}= 3^2 \\ \\ \frac{3}{1+cos(2x)} =2 \\ \\ 1+cos(2x)= \frac{3}{2} \\ \\ cos (2x) = \frac{1}{2} \\ \\ 2x = б\frac{ \pi }{3} +2 \pi n; \\ \\ x = б\frac{ \pi }{6} +\pi n \\ \\$, n∈Z