Question

Найдите значение выражения ,где a и b - соответственно наибольший и наименьший корни уравнения

Answer 1

$x^3-7x^2+7x=1\\ \\ (x-1)(x^2+x+1)-7x(x-1)=0\\ \\ (x-1)(x^2-6x+1)=0\\ \\ x_1=1\\ \\ x^2-6x+1=0;~~~~~~~~ (x-3)^2=8\\ \\ x-3=\pm2 \sqrt{2} ;~~~~~ x_{2,3}=3\pm2\sqrt{2}$

$\displaystyle \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} = \frac{3+2\sqrt{2} }{3-2\sqrt{2} } + \frac{3-2\sqrt{2} }{3+2\sqrt{2} } = \frac{(3+2\sqrt{2} )^2+(3-2\sqrt{2} )^2}{9-8} =\\ \\ \\ =9+6\sqrt{2} +8+9-6\sqrt{2} +8=34$

Answer 2

$x^3-7x^2+7x=1 \\(x^3-1)-7x(x-1)=0 \\(x-1)(x^2+x+1)-7x(x-1)=0 \\(x-1)(x^2+x+1-7x)=0 \\(x-1)(x^2-6x+1)=0 \\x_1=1 \\x^2-6x+1=0 \\D=36-4=32=(4\sqrt{2})^2 \\x_2 \frac{6+4\sqrt{2}}{2} =3+2\sqrt{2} \\x_3=3-2\sqrt{2}$
определим наибольший и наименьший корень(возведем в квадрат):
$1 \ ; \ 3+2\sqrt{2} \ ; \ 3-2\sqrt{2} \\1\ ; \ 17+12\sqrt{2}\ ; \ 17-12\sqrt{2}$
отсюда:
$a=3+2\sqrt{2} \\b=3-2\sqrt{2}$
вычисляем значение выражения:
$\frac{a}{b}+ \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{(3+2\sqrt{2})^2+(3-2\sqrt{2})^2}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{17+12\sqrt{2}+17-12\sqrt{2}}{1} =17+17=34$
ответ: 34