Question

Докажите что число 11^n+12^2n-1 при всех n∈ n делится на 133

Answer 1

Проделаем преобразования, чтобы у всех членов получился множитель 133:

$11^{n+1}+12^{2n-1} = 11^{n+1}+12*12^{2n-2} = 11^{n+1}+12*144^{n-1} = \\ \\ = 11^{n+1}+12*(133+11)^{n-1} = 11^{n-1}+ \\ \\ +12*(133^{n-1}+ C_{n-1}^1 133^{n-2} 11+...+C_{n-1}^{n-2}133*11^{n-2}+11^{n-1} ) = \\ \\ =11^2 *11^{n-1}+ 12*11^{n-1}+\\ \\ + (133^{n-1}+ C_{n-1}^1 133^{n-2} 11+...+C_{n-1}^{n-2}133*11^{n-2} ) = \\ \\ = 133*11^{n-1}+ (133^{n-1}+ C_{n-1}^1 133^{n-2} 11+...+C_{n-1}^{n-2}133*11^{n-2} )$

Итак, любой член суммы делится на 133, значит, делится и исходное выражение.

Answer 2

Решение смотри на фото