Question

Две стороны треугольника равны 10 и 11 м, угол между ними равен 60º. найти третью сторону и площадь треугольника

Answer 1

Третья сторона по теореме косинусов
$x= \sqrt{10^2+11^2-2\cdot11\cdot10\cdot cos60^{\circ}}= \\ = \sqrt{100+121-220\cdot \dfrac{1}{2} }= \\ = \sqrt{111}$

Площадь по формуле Герона
$p= \dfrac{10+11+ \sqrt{111} }{2}= \dfrac{21+ \sqrt{111} }{2} \\ S= \\ = \sqrt{ \dfrac{21+ \sqrt{111} }{2}( \dfrac{21+ \sqrt{111} }{2}-10)( \dfrac{21+ \sqrt{111} }{2}-11)( \dfrac{21+ \sqrt{111} }{2}- \sqrt{111} } \\ =\sqrt{ \dfrac{21+ \sqrt{111} }{2}( \dfrac{1+ \sqrt{111} }{2})( \dfrac{-1+ \sqrt{111} }{2})( \dfrac{21- \sqrt{111} }{2}) }= \\ = \sqrt{ \dfrac{(21+ \sqrt{111})(1+ \sqrt{111})(-1+ \sqrt{111})(21- \sqrt{111} )}{16} }= \\ = \sqrt{ \dfrac{330\cdot110}{16} }= \dfrac{55 \sqrt{3} }{2}$

Answer 2

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними
$S = \frac{1}{2} *10 * 11 * Sin60 ^{o} = 55 * \frac{ \sqrt{3} }{2} =27,5 \sqrt{3}$
По теореме косинусов : квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Пусть длина третьей стороны равна x , тогда
x² = 10² + 11² - 2 * 10 * 11 * Cos60° = 100 + 121 - 2 * 110 * 1/2 = 221 - 110 =
 = 111
 x = √111