Question

Найти угол между двумя касательными к параболе у = - 2 - х^2, проведёнными через начало координат.

Answer 1

Абсциссы точек касания  x_1,x_2x​1​​,x​2​​   .    
Угловые коэфф. касательных   k_1=y'(x_1),\; k_2=y'(x_2)k​1​​=y​′​​(x​1​​),k​2​​=y​′​​(x​2​​) 

Уравнение касательной:  y=y(x_1)+y'(x_1)(x-x_1)y=y(x​1​​)+y​′​​(x​1​​)(x−x​1​​) 

\begin{lgathered}y=x^2,\; \; y(x_1)=x_1^2y'=2x,y'(x_1)=2x_1Yravn.kasat.\; \; y=x_1^2+2x_1(x-x_1)\end{lgathered}​y=x​2​​,y(x​1​​)=x​1​2​​​​y​′​​=2x,y​′​​(x​1​​)=2x​1​​​​Yravn.kasat.y=x​1​2​​+2x​1​​(x−x​1​​)​​

Теперь подставим координаты точки, через которую проходит касательная, (0,-2) , в уравнение касательной вместо переменных:

\begin{lgathered}-2=x_1^2+2x_1(0-x_1)-2=x_1^2-2x_1^2,\; \; x_1^2=2,\; x_1=\sqrt2,x_2=-\sqrt2\end{lgathered}​−2=x​1​2​​+2x​1​​(0−x​1​​)​​−2=x​1​2​​−2x​1​2​​,x​1​2​​=2,x​1​​=√​2​​​,​​x​2​​=−√​2​​​​​

В принципе мы имеем обе точки касания:  A(\sqrt2,2),\; B(-\sqrt2,2)A(√​2​​​,2),B(−√​2​​​,2) 

Подставим значения абсцисс в уравнение касательной.

\begin{lgathered}a)\; \; y=2+2\sqrt2(x-\sqrt2)\; \to \; y=2+2\sqrt2x-4,y=2\sqrt2x-2\; \to k_1=2\sqrt2b)\; \; y=2-2\sqrt2(x+\sqrt2),\to \; y=-2\sqrt2x-2\; \to k_2=-2\sqrt2\end{lgathered}​a)y=2+2√​2​​​(x−√​2​​​)→y=2+2√​2​​​x−4,​​y=2√​2​​​x−2→k​1​​=2√​2​​​​​b)y=2−2√​2​​​(x+√​2​​​),→y=−2√​2​​​x−2→k​2​​=−2√​2​​​​​

Угол между прямыми можно найти по формуле 

\begin{lgathered}tg \alpha =|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|tg \alpha =|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2(-2\sqrt2)}|=|\frac{4\sqrt2}{1-8}|=\frac{4\sqrt2}{7} \alpha =arctg\frac{4\sqrt2}{7}\end{lgathered}​tgα=∣​1+k​1​​k​2​​​​k​1​​−k​2​​​​∣​​tgα=∣​1+2√​2​​​(−2√​2​​​)​​2√​2​​​−(−2√​2​​​)​​∣=∣​1−8​​4√​2​​​​​∣=​7​​4√​2​​​​​​​α=arctg​7​​4√​2​​​​​​​