Question

Решить уравнение относительно переменной х: (а+1)х^2-2х+1-а=0

Answer 1

Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=(-2)^2-4\cdot(a+1)\cdot(1-a)=4+4(a^2-1)=4a^2$

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень:
4а²=0   откуда  а=0.

Подставив параметр а=0 и а=-1, получим корень $x=1$

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, то есть

$x_{1,2}= \dfrac{2\pm2|a|}{2(a+1)} = \dfrac{1\pm |a|}{a+1}$, если $a\ \textgreater \ 0,~ a\ \textless \ 0$ и $a\ne -1$

Если D<0, то неравенство $4a^2\ \textless \ 0$ не верно.

ответ: $x=\dfrac{1\pm |a|}{a+1}$ при $a \in (-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)$;
               $x=1$, если $a=-1$ и $a=0$

Answer 2

$(a+1)x^2-2x+1-а=0 \\(a+1)x^2-2x+(1-a)=0 \\D=4-4(a+1)(1-a)=4(1+a^2-1)=4a^2$
1) при a+1=0; a=-1 уравнение обращается в линейное:
$-2x+1+1=0 \\-2x=-2 \\x=1$
2) при D>0 и a≠-1 имеет 2 различных корня
$\left \{ {{4a^2\ \textgreater \ 0} \atop {a \neq -1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \in (-\infty;0)\cup (0;+\infty)} \atop {a \neq -1}} \right. \Rightarrow a \in (-\infty;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty) \\x_1= \frac{2+\sqrt{4a^2}}{2(a+1)} = \frac{1+|a|}{a+1} \\x_2= \frac{1-|a|}{a+1}$
3) при D=0 и a≠-1 имеет 2 совпадающих корня:
$4a^2=0 \\a=0 \\x_1=x_2= \frac{2}{2(a+1)} = \frac{1}{a+1}=\frac{1}{1}=1$
4) при D<0 и a≠-1 не имеет корней
$4a^2\ \textless \ 0 \\a \in \varnothing$
дальше не рассматриваем этот случай
ответ:
$a\in \{-1\} \cup \{0\} \Rightarrow x=1 \\a \in (-\infty;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty) \Rightarrow x_1=\frac{1+|a|}{a+1};\ x_2= \frac{1-|a|}{a+1}$