Question

Решите неравенства: 1) (√5) ^х-6 < 1\5 2)(2\13) в степени х в квадрате -1 ≥ 1

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

1) Для начала решим первое неравенство: (√5) ^х-6 < 1\5

Перенесем 1\5 налево и получим: (√5) ^х-6 - 1\5 < 0

Чтобы решить это неравенство, возьмем 10 в степени 0.2 (так как (√5) = 5^0.5 и 1\5 = 5^(-1)). Получим следующее:

10^(0.2(х-6)) - 10^(-1) < 0

Применим свойство степени: a^b - c = (a^b)/(c)

(10^(0.2(х-6))) / (10^(-1)) < 0

Так как базы одинаковые, мы можем просто вычислить экспоненты:

10^(0.2(х-6) + 1) < 0

Упростим выражение в скобках:

0.2(х-6) + 1 < 0

Раскроем скобки:

0.2х - 1.2 + 1 < 0

Упростим:

0.2х - 0.2 < 0

Прибавим 0.2 на обе стороны неравенства:

0.2х < 0.2

Разделим обе стороны на 0.2:

х < 1

Таким образом, решением первого неравенства является х < 1.

2) Теперь решим второе неравенство: (2\13) в степени х в квадрате -1 ≥ 1

Перенесем 1 налево и получим: (2\13) в степени х в квадрате ≥ 2

Для упрощения расчетов, возведем обе части неравенства в степень 13:

(2\13)^13х - 1 ≥ 2

(2\13)^13х ≥ 3

Заметим, что (2\13) = (13\2)^(-1) (это равенство следует из свойства разложения дроби). Подставим это в неравенство и получим:

((13\2)^(-1))^13х ≥ 3

(13/2)^-13х ≥ 3

Упростим выражение в скобках:

(13^-13х * 2^-13х) ≥ 3

Сведем дроби к общему знаменателю:

(13^-13х * 2^-13х) ≥ 3 * (2^13 * 13^13)

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, возводя каждый множитель в степень:

(2^(-13х) * 13^(-13х)) ≥ 3 * (2^13 * 13^13)

Мы получили две экспоненциальные функции с отрицательными показателями. Чтобы решить неравенство, мы можем упростить выражение:

(13^(-13х) / 2^(-13х)) ≥ (3 * 13^13 / 2^13)

Так как базы одинаковые, можем просто вычислить экспоненты:

13^(-13х - (-13х)) ≥ (3 * 13^13) / 2^13

13^0 ≥ (3 * 13^13) / 2^13

Так как любое число в степени нуль равно 1:

1 ≥ (3 * 13^13) / 2^13

Умножим обе стороны на 2^13:

2^13 ≥ 3 * 13^13

Теперь решим это неравенство. Чтобы избежать крупных вычислений с большими числами, давайте представим каждое число в разложенной форме:

8192 ≥ 3 * (169^6 * 169^6 * 169)

Мы видим, что 8192 является степенью числа 2, и 169 является степенью числа 13. Таким образом, можно переписать неравенство так:

2^13 ≥ 3 * 13^13

8192 ≥ 3 * (169^6 * 169^6 * 169)

Теперь мы можем упростить это неравенство, помня, что 169^6 = (13^2)^6 = 13^12. Получим:

8192 ≥ 3 * (13^12 * 13)

Упростим:

8192 ≥ 3 * 13^13

Видим, что высокие числа не имеют значения; нам нужно только понять, является ли левая сторона больше или равной правой.

8192 - 3 * 13^13 ≥ 0

Для упрощения вычислений, заменим 13^13 более простым числом, например 16900000000000:

8192 - 3 * 16900000000000 ≥ 0

-50899999999908 ≥ 0

Так как получили отрицательное число, неравенство не выполняется.

Таким образом, решений для второго неравенства нет.