Question

Найти обшее решение уравнения: у''+4у=3хсо есть кто -нибудь, умеющий решать?

Answer 1

1) Найдем общее решение однородного уравнения:
y''+4y=0
Характеристическое уравнение:
k²+4=0
k²=-4
k=+-√(-4)=+-√4i²=+-2i
k=α+-β*i
α=0     β=2
Общее решение однородного ДУ имеет вид:
у.оо=exp(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))=
=exp(0)*(C1*cos(2x)+C2*sin(2x))=
=C1*cos(2x)+C2*sin(2x)
2) Найдем частное решение неоднородного уравнения
Правая часть имеет вид:
f(x)=3x*cos2x=exp(0*x)*((Ax+B)*cos2x+(Cx+D)*sin2x)
Т.к. k=α+βi=2i является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение ищем в виде:
у.чн=x*((Ax+B)*cos2x+(Cx+D)*sin2x))=(Ax²+Bx)*cos2x+(Cx²+Dx)*sin2x
у.чн'=(A²x+Bx)'*cos2x+(Ax²+Bx)*(cos2x)'+(Cx²+Dx)'*sin2x+(Cx²+Dx)*(sin2x)'=
=(2Ax+B)*cos2x+(Ax²+Bx)*(-2)*sin2x+(2Cx+D)*sin2x+(Cx²+Dx)*2cos2x=
=(2Ax+B+2Cx²+2Dx)*cos2x+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)*sin2x
у.чн''=(2Ax+B+2Cx²+2Dx)' *cos2x+(2Ax+B+2Cx²+2Dx)*(cos2x)'+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)'*sin2x+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)*(sin2x)'=
=(2A+4Cx+2D)*cos2x+(2Ax+B+2Cx²+2Dx)*(-2)*sin2x+(-4Ax-2B+2C)*sin2x+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)*2cos2x=
=(2A+4Cx+2D-4Ax²-4Bx+4Cx+2D)*cos2x+
+(-4Ax-2B-4Cx²-4Dx-4Ax-2B+2C)*sin2x=
=(2A+8Cx+4D-4Ax²-4Bx)*cos2x+(-8Ax-4B-4Cx²-4Dx+2C)*sin2x
Подставим в исходное уравнение:
(2A+8Cx+4D-4Ax²-4Bx)*cos2x+(-8Ax-4B-4Cx²-4Dx+2C)*sin2x+
+(4Ax²+4Bx)*cos2x+(4Cx²+4Dx)*sin2x=3x*cos2x
(2A+8Cx+4D)*cos2x+(-8Ax-4B+2C)*sin2x=3x*cos2x
х*cos2x:  8C=3  C=3/8
cos2x:  2A+4D=0  ⇒  A=-2D
x*sin2x:  -8A=0  ⇒ A=0     
sin2x:  -4B+2C=0  ⇒ -2B+C=0  ⇒ B=1/2C=1/2*3/8=3/16 
D=0
Тогда 
у.чн=3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x
3) Найдем общее решение неоднородного уравнения:
у.он=у.оо+у.чн=
=C1*cos(2x)+C2*sin(2x)+3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x