Пусть : 100a+10b+c-искомое трехзначное число (a,b,c-его цифры) Разность: 100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99*(a-c) То есть оно делиться на 9 и 11. То если предположить что: 99*(a-c)=n^2, то n обязательно делиться на 11 и 3. То есть делиться на 33. То есть 99 <n^2=(33*k)^2<1000 k^2<1000/1089 ,то |k|<1 что невозможно тк k-целое число. То мы пришли к противоречию. Таких чисел не существует . С учетом того что 0 натуральным числом не является (Можно например 555-555=0=0^2 )
Заметим, что наибольшая сумма цифр трехзначного числа равна 9+9+9=27 Таким образом для данных чисел сумма цифр нового числа равна либо 18 либо 9. Причем 18 будет только у числа 999. Тк это число с наибольшей суммой цифр. То есть cумма цифр нового числа в каждом из остальных чисел обладающим таким свойством равна. 9 Возможны варианты новых чисел : (Учитывая что все варианты не более 111 и не менее 12. Тк далее после умножения на 9 будут 4 значные числа. или 2 значные) То варианты новых чисел: 108,90,81,72,63,54,45,36,27,18 Число 999 не подходит. Тк cумма цифр нового числа 111 равна 3. Чтобы получить все варианты таких чисел умножим каждый из искомых новых чисел на 9. Исключая варианты где сумма цифр не оказалась равна 18 . 972,729,648,567,486-все данные числа ответ: 972,729,648,567,486
