Question

Прямоугольный треугольник с катетами 20 и 15 вращается вокруг гипотенузы.найдите объем полученного тела вращения.!

Answer 1

V = 1200π

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Прямоугольный ΔАВС с катетами АС = 15 и ВС = 20 вращается вокруг гипотенузы  $AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}= \sqrt{15^{2} + 20^{2}}= 25.$

Тело вращения представляет собой два конуса с радиусом основания ОС, являющимся высотой, опущенной из вершины прямого угла С на гипотенузу АВ.

$OC = \frac{AC\cdot BC}{AB} = \frac{15\cdot 20}{25}=12.$

Высота верхнего конуса

$BO = \frac{BC^{2} }{AB} = \frac{20^{2} }{25} =16.$

Высота нижнего конуса

$АO = \frac{АC^{2} }{AB} = \frac{15^{2} }{25} =9.$

Объём тела вращения равен

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot OC^{2}\cdot BO + \frac{1}{3}\pi \cdot OC^{2}\cdot AO=\\ \\ =\frac{1}{3}\pi \cdot OC^{2}\cdot AB = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^{2}\cdot 25 = 1200\pi.$