Распределение значений случайной величины y по частотам представлено в таблице y: 1 2 3 5 7 m: 1 2 3 2 2 найти размах, среднее медиану и моду совокупности данных.
для определения среднего дохода налогоплательщиков города налоговой инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобранных случайным образом. оценить вероятность того, что средний годовой доход жителей города отклонится от среднего арифметического годовых доходов выбранных 250 жителей не более чем на 1000 руб., если известно, что среднее квадратичное отклонение годового дохода не превышает 2500 руб.
решение. согласно неравенству чебышева, которым можно пользоваться, поскольку все , получаем
.
теорема бернулли. если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события а постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений а в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
.
замечание. из теоремы бернулли не следует, что . речь идет лишь о вероятности того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в анализе, для всех п, начиная с некоторого значения, неравенство выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п, при которых это неравенство неверно. этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности.
Для определения самого большого и самого маленького значений функции y=-4x^4+9 на указанном отрезке [0, 4] без использования производной, мы можем использовать метод подстановки значений из отрезка в функцию и сравнения полученных значений.
Шаг 1: Подставим начальное значение отрезка, то есть x=0, в функцию y=-4x^4+9:
y = -4*0^4 + 9
y = -4*0 + 9
y = 0 + 9
y = 9
Таким образом, значение функции при x=0 равно 9.
Шаг 2: Подставим конечное значение отрезка, то есть x=4, в функцию y=-4x^4+9:
y = -4*4^4 + 9
y = -4*256 + 9
y = -1024 + 9
y = -1015
Таким образом, значение функции при x=4 равно -1015.
Чтобы найти самое большое и самое маленькое значение функции на указанном отрезке, мы сравниваем полученные значения:
Наибольшее значение функции: yнаиб = 9
Наименьшее значение функции: yнаим = -1015
Итак, самое большое значение функции на отрезке [0, 4] равно 9, а самое маленькое значение функции равно -1015.
Для решения данного вопроса нужно сравнить график функции y=cos(x) с графиками остальных вариантов ответа.
График функции y=cos(x) является графиком косинусной функции и имеет форму периодической кривой, осциллирующей между значениями -1 и 1. График периодичен с периодом 2π и имеет точку минимума при x=0 и точку максимума при x=π.
Рассмотрим каждый вариант ответа по очереди:
1) y=2cosx: данная функция лишь умножает график y=cos(x) на 2, что приводит к растяжению функции вверх и вниз вдвое. График по-прежнему осциллирует между -2 и 2. Таким образом, это неверный ответ.
2) y=cosx−3: данная функция вычитает из графика y=cos(x) константу 3, что приводит к смещению графика вниз на 3 единицы. График по-прежнему осциллирует между -4 и -2. Таким образом, это неверный ответ.
3) y=cos(x−π/4): данная функция осуществляет горизонтальное смещение графика y=cos(x) на π/4 вправо. Это означает, что точка минимума теперь будет при x=π/4, а точка максимума - при x=5π/4. График по-прежнему осциллирует между значениями -1 и 1. Таким образом, это верный ответ.
4) y=cos(x+π/3): данная функция осуществляет горизонтальное смещение графика y=cos(x) на π/3 влево. Это означает, что точка минимума теперь будет при x=-π/3, а точка максимума - при x=4π/3. График по-прежнему осциллирует между значениями -1 и 1. Таким образом, это неверный ответ.
5) y=cos(x+π/4): данная функция осуществляет горизонтальное смещение графика y=cos(x) на π/4 влево. Это означает, что точка минимума теперь будет при x=-π/4, а точка максимума - при x=7π/4. График по-прежнему осциллирует между значениями -1 и 1. Таким образом, это неверный ответ.
6) y=cosx+2: данная функция добавляет к графику y=cos(x) константу 2, что приводит к вертикальному смещению графика вверх на 2 единицы. График по-прежнему осциллирует между 1 и 3. Таким образом, это неверный ответ.
7) y=−cosx+3: данная функция умножает график y=cos(x) на -1 и затем добавляет константу 3, что приводит к вертикальному смещению графика вверх на 3 единицы и отражает его относительно оси x. График по-прежнему осциллирует между 2 и 4. Таким образом, это неверный ответ.
8) y=cos(x−π/3): данная функция осуществляет горизонтальное смещение графика y=cos(x) на π/3 вправо. Это означает, что точка минимума теперь будет при x=π/3, а точка максимума - при x=4π/3. График по-прежнему осциллирует между значениями -1 и 1. Таким образом, это неверный ответ.
9) y=cosx−2: данная функция вычитает из графика y=cos(x) константу 2, что приводит к смещению графика вниз на 2 единицы. График по-прежнему осциллирует между -3 и -1. Таким образом, это неверный ответ.
Итак, правильный ответ на данный вопрос - y=cos(x-π/4).
для определения среднего дохода налогоплательщиков города налоговой инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобранных случайным образом. оценить вероятность того, что средний годовой доход жителей города отклонится от среднего арифметического годовых доходов выбранных 250 жителей не более чем на 1000 руб., если известно, что среднее квадратичное отклонение годового дохода не превышает 2500 руб.
решение. согласно неравенству чебышева, которым можно пользоваться, поскольку все , получаем
.
теорема бернулли. если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события а постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений а в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
.
замечание. из теоремы бернулли не следует, что . речь идет лишь о вероятности того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в анализе, для всех п, начиная с некоторого значения, неравенство выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п, при которых это неравенство неверно. этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности.