Question

Y=\frac{\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x}}{x}}{x^2} найти производную

Answer 1

$y= \frac{ \sqrt{x-1}+\frac{ \sqrt{x} }{x} }{x^2}$
Прежде чем искать производную данной функции ,нужно преобразовать её (упростить)
$y= \frac{x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} }{x^3} \\y'=\frac{(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )'x^3-(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )(x^3)' }{x^6} =\\=\frac{((x \sqrt{x-1})'+( \sqrt{x} )')x^3-3x^2(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )}{x^6} =\\= \frac{(x' \sqrt{x-1}+x( \sqrt{x-1})'+\frac{1}{2 \sqrt{x} } )x^3-3x^2(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )}{x^6}=\\= \frac{(( \sqrt{x-1}+\frac{x}{2 \sqrt{x-1} } +\frac{1}{2 \sqrt{x} } )x^3-3x^2(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} ) }{x^6} =\\=\frac{\frac{2 \sqrt{x(x-1)^2} +x \sqrt{x} + \sqrt{x-1} }{2 \sqrt{x(x-1)} }*x^3-3x^3 \sqrt{x-1} -3x^2 \sqrt{x}}{x^6}$
$\frac{\frac{3x \sqrt{x} -2 \sqrt{x} + \sqrt{x-1} }{2 \sqrt{x(x-1)} }*x^3-3x^3 \sqrt{x-1} -3x^2 \sqrt{x} }{x^6} =\\=\frac{\frac{3x^4 \sqrt{x} -2x^3 \sqrt{x} +x^3 \sqrt{x-1}-6x^3 \sqrt{(x^2-x)(x-1)} -6x^2 \sqrt{(x^2-x)x} }{2 \sqrt{x^2-x} } }{x^6} =\\=\frac{\frac{3x^3 \sqrt{x} -2x^3 \sqrt{x} -5x^3 \sqrt{x-1} -6x^3 \sqrt{x^3-2x^2+x} }{2 \sqrt{x^2-x} } }{x^6} =\\=\frac{3x^4 \sqrt{x} -2x^3 \sqrt{x} -5x^3 \sqrt{x-1}-6x^3 \sqrt{x^3-2x^2+x} }{2x^6 \sqrt{x^2-x} } =\\=\frac{3x \sqrt{x} -2 \sqrt{x} -5 \sqrt{x-1}-6 \sqrt{x^3-2x^2+x} }{2x^3 \sqrt{x^2-x} } =\\=\frac{3x \sqrt{x} -2 \sqrt{x} -5 \sqrt{x-1}-6x \sqrt{x} +6 \sqrt{x} }{2x^3 \sqrt{x^2-x} } = \frac{-3x \sqrt{x} +4 \sqrt{x} -5 \sqrt{x-1} }{2x^3 \sqrt{x^2-x} }$

Answer 2

$Y=\frac{\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x}}{x}}{x^2} = \frac{ \sqrt{x-1} }{x^2} + \frac{ \sqrt{x} }{x^3}= \frac{ \sqrt{x-1} }{x^2} + x^{ (\frac{1}{2}-3) }} \\ \\ Y = \frac{ \sqrt{x-1} }{x^2}+x^{ -\frac{5}{2} }$

$Y' = (\frac{ \sqrt{x-1} }{x^2}+x^{ -\frac{5}{2} })'= \\ \\ = \frac{( \sqrt{x-1} )'*x^2- \sqrt{x-1}*(x^2)' }{x^4} + (-\frac{5}{2} )*x^{- \frac{7}{2} }= \\ \\ = \frac{( \sqrt{x-1} )'}{x^2} - \frac{ \sqrt{x-1}*2*x }{x^4} - \frac{5}{2x^3 \sqrt{x} } = \\ \\ = \frac{1}{2x^2 \sqrt{x-1}} - \frac{2 \sqrt{x-1} }{x^3} - \frac{5}{2x^3 \sqrt{x} }$