Для того,чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю: f'(x) = 2(x+3)*(x-5)^2 + 2(x+3)^2*(x-5) = 2*(x+3)(x-5)(x-5+x+3) = 2(x+3)(x-5)(2x-2)Отсюда видим, что данное выражение будет равно нулю при х1=-3, х2=1 и х3=5
бабка. рисунок е. ванюковабабка была тучная, широкая, с мягким, певучим голосом. «всю квартиру собой » – ворчал борькин отец. а мать робко возражала ему: «старый куда же ей деться? » «зажилась на – вздыхал отец. – в инвалидном доме ей место – вот где! » все в доме, не исключая и борьки, смотрели на бабку как на совершенно лишнего человека. бабка спала на сундуке. всю ночь она тяжело ворочалась с боку на бок, а утром вставала раньше всех и гремела в кухне посудой. потом будила зятя и дочь: «самовар поспел. вставайте! попейте горяченького-то на » подходила к борьке: «вставай, батюшка мой, в школу пора! » «зачем? » – сонным голосом спрашивал борька. «в школу зачем? тёмный человек глух и нем – вот зачем! » борька прятал голову под одеяло: «иди ты, » в сенях отец шаркал веником. «а куда вы, мать, галоши дели? каждый раз во все углы тыкаешься из-за них! » бабка торопилась к нему на . «да вот они, петруша, на самом виду. вчерась уж грязны были, я их обмыла и поставила».
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
f'(x) = 2(x+3)*(x-5)^2 + 2(x+3)^2*(x-5) = 2*(x+3)(x-5)(x-5+x+3) = 2(x+3)(x-5)(2x-2)Отсюда видим, что данное выражение будет равно нулю при х1=-3, х2=1 и х3=5