Question

При каких параментах p система уравнений не имеет решений? первое уравнение: второе уравнение: на листочке!

Answer 1

$5p+6sinx+p\, cosx=3\, cosx+2p\, sinx+p^2+6\\\\(6-2p)\, sinx+(p-3)\, cosx-\underbrace {(p^2-5p+6)}_{p_1=2,p_2=3}=0\\\\-2(p-3)\, cosx+(p-3)\, sinx-(p-2)(p-3)=0\\\\(p-3)\cdot (-2\, cosx+sinx-(p-2))=0\\\\(p-3)\cdot (sinx-2\, cosx-p+2)=0\\\\\star \; \; sinx-2cosx=\sqrt5\cdot (\frac{1}{\sqrt5}\, sinx-\frac{2}{\sqrt5}\, cosx)=\\\\=\sqrt5\cdot (cos\varphi \cdot sinx-sin\varphi \cdot cosx)=\sqrt5\cdot sin(x-\varphi )\; ,\\\\tg\varphi =\frac{2/\sqrt5}{1\sqrt5}\; \; ,\; \; \varphi =arctg2$

$-1 \leq sin(x-\varphi ) \leq 1\\\\-\sqrt5 \leq \sqrt5\, sin(x-\varphi ) \leq \sqrt5\; \; \star \\\\a)\; sinx-2\, cosx-p+2=0\; \; \to \; \; \sqrt5\, sin(x-\varphi )-p+2=0\\\\\sqrt5\, sin(x-\varphi )=p-2\\\\sin(x-\varphi )=\frac{p-2}{\sqrt5}$

Cистема не  имеет решений, если правая часть равенства либо  > 1 ,
либо  < (-1).

$\left [ {{\frac{p-2}{\sqrt5}\ \textgreater \ 1} \atop {\frac{p-2}{\sqrt5}\ \textless \ -1}} \right. \; \left [ {{p\ \textgreater \ 2+\sqrt5} \atop {p\ \textless \ 2-\sqrt5}} \right.$

$b)\; \; p-3=0\; \; \to \; \; p=3\\\\p\in (-\infty ,2-\sqrt5)\cup (2+\sqrt5,+\infty )$

Answer 2

 5*p+6*sinx+p*cosx = 3*cosx+2*p*sinx+p^2+6 
 (6-2p)*sinx+(p-3)*cosx=(p-2)(p-3)   
 (p-3)(2*sinx+cosx-p+2)=0 
  2*sinx+cosx=p-2 
  
 Максимальное значение 2*sinx+cosx <= √(2^2+1^2)*√(sin^2x+cos^2x) = √(5) 
 минимальное -√5
 
  Значит уравнение не имеет решения при 
  p-2>√5 
  p-2 < -√5 
 
 Откуда 
  p > 2+√5 
  p < 2-√5