Для начала упростим имеющееся выражение по формуле произведения синуса на косинус:
В нашем случае получается:
Итак, от мы перешли к
. Теперь будем рассматривать период. Говоря простым языком, период - это какое-то определённое значение, пройдя которое мы вернёмся в ту же самую точку, из которой начинали движение. Должно выполняться вот это равенство:
, где
- это и есть этот период. В нашем случае получается вот так:
Теперь есть два решения этого уравнения. Первый - это муторный и прямолинейный. Просто перенести всё в левую часть, далее через разность синусов и так медленно добираться до периода. Второй намного проще, но надо понимать, что происходит. Дело в том, что мы изменять не можем, так как это переменная, которую нам надо найти. Зато
мы можем присвоить любое удобное нам значение. Он ни на что не влияет, равенство в рамке продолжает соблюдаться, поскольку мы заменим икс в обеих частях, но всё станет намного проще. Например, здесь удобнее взять
. Нам известно, что
, и вся левая часть в него превратится. Получится вот так:
Теперь просто решаем обычное тригонометрическое уравнение и находим .
Итак, вот мы к этому и пришли. Возникает вопрос, что делать с ? В условии задания написано, что нужно найти наименьший положительный период данной функции. Так как
, то
. Положительное число должно быть больше нуля, и очевидно, что
при
. Поэтому подставляем наше первое значение:
. При нём получаем:
Но не стоит сразу радоваться. Сначала проверим период на соответствие равенству .
Согласно формуле приведения, , отсюда имеем:
Равенство не выполнено, значит, не является периодом данной функции. Проверяем дальше,
.
Точно так же подставляем в .
По формуле приведения , поэтому:
А потому и является искомым периодом.
ответ: В)
Скорость течения реки Vт = у км/ч .
По условию задачи составляем систему уравнений:
{ 12/(х+у) + 10/(х - у) = 4 | × (x+y)(x - y)
{ 2(x + y) = 4(x - y) | ÷ 2
{ 12(x - y) + 10(x + y) = 4(x+y)(x-y)
{ x + y = 2(x - y)
{ 12x - 12y + 10x + 10y = 4(x² - y²)
{ x + y = 2x - 2y
{ 22x - 2y = 4(x² - y²) |÷2
{ y + 2y = 2x - x
{11x - y = 2(x² - y²)
{ 3y = x
{ 11x - y = 2x² - 2y²
{ x = 3y
{ 2x² - 2y² - 11x + y = 0
{ x = 3y
подстановки:
2× (3у)² - 2у² - 11×3у + у = 0
2× 9у² - 2у² - 33у + у = 0
18у² - 2у² - 32у = 0
16у² - 32у = 0
16у(у - 2) = 0
16у = 0
у₁ = 0 не удовл. условию задачи
у - 2 =0
у₂ = 2 (км/ч) скорость течения реки
х = 3× 2
х = 6 (км/ч) собственная скорость лодки
Проверим:
12/(6+2) + 10/(6-2) = 12/8 + 10/4 = 3/2 + 5/2 = 8/2 = 4 (часа)
2(6+2) = 4(6-2) = 16 (км)
ответ: 6 км/ч скорость лодки в стоячей воде, 2 км/ч скорость течения реки.