Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке. f(x)=(x^2+5)/(x-2) , на промежутке [3; 6]

Answer 1

$f'(x) = \frac{( {x}^{2} + 5)'(x - 2) - (x - 2)'( {x}^{2} + 5)4} { {(x - 2)}^{2} } = \\ = \frac{2x(x - 2) - {x}^{2} - 5}{ {(x - 2)}^{2} } = \\ = \frac{2 {x }^{2} - 4x - {x}^{2} - 5 }{ {(x - 2)}^{2} } = \\ = \frac{ {x}^{2} - 4x - 5 }{ {(x - 2)}^{2} }$

$f'(x) = 0$
$\frac{ {x}^{2} - 4x - 5 }{ {(x - 2)}^{2} } = 0 \\ {x}^{2} - 4x - 5 = 0 \\ x_1 = - 1 \\ x_2 = 5$
данному отрезку пренадлежит
$x_2 = 5$
посчитаем значения функции на концах отрезка и в точке х=5
$f(3) = \frac{ {3}^{2} + 5}{3 - 2} = \\ = \frac{9 + 5}{1} = 14$
$f(5) = \frac{ {5}^{2} + 5 }{5 - 2} = \\ = \frac{25 + 5}{3} = \frac{30}{3} = 10$
$f(6) = \frac{ {6}^{2} + 5}{6 - 2} = \\ = \frac{36 + 5}{4} = \frac{41}{4} = 10.25$
$f \: min = f(5) = 10$
$f \: max = f(3) = 14$