Если коэффициент при 
не равняется нулю, то тут более двух корней квадратное уравнение не будет иметь, так как согласно теореме алгебры квадратное уравнение имеет не более двух корней.
Осталось сделать все коэффициенты нулевыми
Общее а=2, т.е. при а = 2 уравнение превратится в 0х=0, где x - любой корень
Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .
Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3
* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень
k₁,₂ = - (8/2) ± 3
k₁ = -4 - 3 = - 7 ;
k₂ = - 4 + 3 = -1 .
Получены два различных действительных корня
Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .
* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *
Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .
y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;
y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)
y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .
- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;
{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .
* * *методом сложения * * *
Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение
ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
- - - - - - -
б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x
k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )
k₁ = 2 ;
k₂ = 4 .
y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части
Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)
8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x
2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)
y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)
ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||
y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .
a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;
е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒
a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .
Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3
* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень
k₁,₂ = - (8/2) ± 3
k₁ = -4 - 3 = - 7 ;
k₂ = - 4 + 3 = -1 .
Получены два различных действительных корня
Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .
* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *
Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .
y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;
y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)
y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .
- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;
{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .
* * *методом сложения * * *
Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение
ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
- - - - - - -
б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x
k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )
k₁ = 2 ;
k₂ = 4 .
y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части
Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)
8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x
2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)
y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)
ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||
y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .
a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;
е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒
a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
