Объяснение:
1) проверим для n=3
2³=8 ; 2*3+1=7 ; 2³>2*3+1 верно (1)
2) предположим что неравенство верно при n=k (k>3) (2)
3) при n=k+1 проверим выполнение неравенства
2^(k+1)=2*2^k
2(k+1)+1=2k+3
по предположению (2) 2^k>2k+1
умножим обе части на 2
2*2^k>2(2k+1)=4k+2
2*2^k>4k+2
сравним 4k+2 и 2k+3 для этого определим знак их разности
4k+2 - (2k+3)=4k+2-2k-3=2k-3 так как k>3 то 2k>2*3=6
2k>6 и тем более 2k>3 ⇒ 2k-3>0 ⇒ 4k+2 - (2k+3)>0 ⇒ 4k+2 > (2k+3)
так как 2^(k+1)>4+2k и 4+2k>2k+3 и 2k+3=2(k+1)+1
то 2^(k+1)> 2(k+1)+1 то есть неравенство выполняется для n=k+1 (3)
из (1); (2); (3) ⇒ неравенство верно для любого n>3
1) Проверим справедливость утверждения при 
:
2) Предположим, что при 
утверждение справедливо, то есть:
3) Докажем, что при 
справедливо утверждение:
Доказательство. Преобразуем:
Первое слагаемое 
делится на 16 по предположению, сделанному на втором шаге.
Рассмотрим второе слагаемое 
. Первый множитель 8 делится на 8. Заметим, что второй множитель является четным, так как выражение 
при 
дает нечетные числа, тогда числа вида 
являются четными. Таким образом, второе слагаемое делится на 
.
Итак, оба слагаемых делятся на 16. Значит и вся сумма делится на 16. Доказано.
3log₂²(sin(пx/3))+log₂(1-cos(2пx/3))=2
ОДЗ:
{sin(пx/3)>0 <=> 6k<x<6k+3
{1-cos(2пx/3)>0 <=> x≠3k, тогда
общее ОДЗ: 6k<x<6k+3
Так как 1-cos(2x)=2sin²x, то перепишем уравнение:
3log₂²(sin(пx/3))+log₂(2sin²(пx/3))=2
Замена: t=sin(пx/3)
3log₂²t+log₂(2t²)=2
3log₂²t+log₂2+log₂(t²)=2
3log₂²t+2log₂t-1=0
Замена: z=log₂t
3z²+2z-1=0
(z+1)(3z-1)=0
z=-1 и z=1/3
log₂t=-1 => t=1/2
log₂t=1/3 => t=∛2
sin(пx/3)=1/2
x=1/2+6k, k∈Z (1)
x=5/2+6k, k∈Z (2)
sin(пx/3)=∛2>1, решений нет
Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.
ответ: x=5/2.