ДАНО
Y=(x²-4)/(x²+1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения D(x) - непрерывная Х∈(-∞;+∞).
Вертикальных асимптот - нет.
2. Пересечение с осью Х. x = 0. В числителе - (x² - 4) = (x-2)*(x +2) = 0
x1 = -2, x2 = 2
3. Пересечение с осью У. У(0) = -4.
4. Поведение на бесконечности.
Горизонтальная асимптота - Y = 1.
5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x). Функция чётная.
6. Производная функции.
7. Локальные экстремумы.
Максимума - нет, минимум – Ymin(0) = -4.
8. Интервалы монотонности.
Убывает - Х∈(-∞;0]. Возрастает - Х∈[0;+∞)
9. Вторая производная - Y"(x).
Корни производной - точки перегиба: х1 =-√3/3, х3=√3/3. (≈0.58)
9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞),
Вогнутая – «ложка» Х∈(-√3/3;√3/3).
10. Область значений Е(у) У∈(-4;1)
11. График в приложении
1) x²-(2x-1)/3≥2x+4|·3; 3x²-(2x-1) ≥ 6x+12; 3x²-2x+1 ≥ 6x+12; 3x²-8x - 11 ≥ 0; 3x²-8x - 11 = 0; D = 64 + 132 = 196; √D=14; x₁ = (8+14)/6 = 11/3; x₂ = (8-14)/6 = -1;
ответ: x∈(-∞; -1]U[11/3; ∞).
2) (x² + 10x)/10 - (2x + 5)/2 ≤ 20|·10; x² + 10x - 5·(2x + 5) ≤ 200; x² + 10x - 10x - 25 ≤ 200; x² ≤ 225; |x| ≤ 15; -15 ≤ x ≤ 15/
ответ: x∈[-15; 15].
3) 6x² + 1 > 5x - x²/4|·4; 24x² + 4 > 20x - x²; 25x² - 20x + 4 > 0; 25x² - 20x + 4 = 0; (5x - 2)² > 0; x ≠ 0,4.
ответ: x∈(-∞; 0,4)U(0,4; ∞).