3x² - x - 11 = 0
Найти значение выражения (x₁² +x₂²)
Решение.
3x² - x - 11 = 0
x² - х/3 - 11/3 = 0
=> p = - ¹/₃; q = - ¹¹/₃
По теореме Виета
{x₁ + x₂ = - p
{x₁ · x₂ = q
Получаем:
{x₁ + x₂ = ¹/₃
{x₁ · x₂ = - ¹¹/₃
Возведем в квадрат обе части первого уравнения:
(x₁ + x₂)² = (¹/₃)²
x₁² + 2х₁х₂ + x₂² = ¹/₉
x₁² + x₂² = ¹/₉ - 2х₁х₂
Из второго уравнения x₁ · x₂ = - ¹¹/₃
x₁² + x₂² = ¹/₉ - 2· (- ¹¹/₃)
x₁² + x₂² = ¹/₉ + ²²/₃
x₁² + x₂² = ¹/₉ + ⁶⁶/₉
x₁² + x₂² = ⁶⁷/₉
x₁² + x₂² = 7 ⁴/₉
По теореме Виета:
x1 + x2 = 1/3
x1*x2 = -11/3
x1^2 + x2^2 = x1^2 + x2^2 + 2x1*x2 - 2x1*x2 = (x1 + x2)^2 - 2x1*x2 = (1/3)^2 - 2*(-11/3) = 1/9 + 22/3 = 1/9 + 66/9 = 67/9 = 7 4/9