C даного равенства следует, что х=0 и х=1 будут корнями искомого многочлена. Поєтому Р(х) имеет вид P(x)=x(x-1)Q(x), где - Q(x) некоторый многочлен. Подставив это в данное равенство, получим
xР(х-1)=(х-2)Р(х);
x *(x-1)(x-1-1)Q(x-1)=(x-2)x(x-1)Q(x);
x(x-1)(x-2)Q(x-1)=x(x-1)(x-2)Q(x);
т.е.получили что Q(x-1)=Q(x). Отсюда имеем что Q(0)=Q(1)=Q(2)=, поэтому Q(x) - есть просто сталой.
Далее. Рассмотрим полученный ответ P(x)=ax(x-1), a є R. Сделаем проверку.
x* a(x-1)(x-2)=(x-2) ax(x-1)
а значит любой многочлен P(x)=ax(x-1), a є R удовлетворяет данное равенство
max {k / S(k)} = 1 000 000
Объяснение:
Цифра в старшем разряде не может быть равна 0, потому что в противном случае число не будет семизначным. Сначала рассмотрим случай, когда это единственная ненулевая цифра в числе k:
Теперь предположим, что в числе есть другие ненулевые цифры и покажем, что в этом случае значение дроби меньше 10⁶. Цифры числа k обозначим через a₆, a₅, ..., a₀.
Рассмотрим дробь 
, где 
– одна из цифр числа k. Заметим, что 
для любых x>0 и y≥0. Тогда если мы оставим в знаменателе этой дроби только два слагаемых, одно из которых (ai) присутствует в числителе, а второе (aj) не равно нулю, будет верно неравенство:
Если 
, то 
. В противном случае мы можем поделить числитель и знаменатель дроби на : 
, а поскольку ai и aj – это некоторые отличные от нуля цифры, максимально возможное значение этой дроби достигается при ai=9 и aj=1: 
.
Из этого следует, что 
.
Теперь вернемся к исходному отношению k/S(k) при наличии хотя бы двух отличных от нуля цифр:
Таким образом, мы доказали, что максимальное значение дроби k/S(k) равно 10⁶ = 1000000 и достигается, когда все все цифры числа k, кроме первой, равны нулю.
Смотри рисунок.