Question

Знайдіть первісну для функції f(x)=sin2xcos6x

Answer 1

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:

sinx*cosy = 1/2 * (sin(x+y ) + sin (x-y)), тогда

sin2x*cos6x = 0.5*(sin8x+sin(-4x)) = 0.5*(sin8x-sin4x)

Запишем первообразную:

$F(x) = \int{0.5(sin8x-sin4x)}\, dx = 0.5(\int{sin8x}\, dx-\int{sin4x}\, dx) = 0.5(-\frac{1}{8}cos8x + \frac{1}{4}cos4x) = \frac{1}{8}(cos4x-\frac{1}{2}cos8x)$ 

Answer 2

$\\f(x)=\sin2x \cos6x\\ F(x)=\int f(x)\, dx\\ F(x)=\int \sin2x \cos6x\, dx\\ F(x)=\int \frac{1}{2}(\sin -4x+\sin 8x)\, dx\\ F(x)=\frac{1}{2} \int\sin 8x-\sin 4x\, dx\\ F(x)=\frac{1}{2} \int\sin 8x\, dx-\frac{1}{2}\int\sin 4x\, dx\\ t=8x,dt=8\, dx\\ u=4x,du=4\, dx\\ F(x)=\frac{1}{16} \int\sin t \, dt-\frac{1}{8}\int\sin u\, du\\ F(x)=-\frac{1}{16}\cos t+\frac{1}{8}\cos u+C\\ F(x)=-\frac{1}{16}\cos 8x+\frac{1}{8}\cos 4x+C$