Найти общие решения уравнений первого порядка методом разделения переменных (1+y^2)dx=(1+x^2)dy

👇

Ответ:

elenabradulina

14.03.2022

$(1+y^2)dx=(1+x^2)dy\\ \frac{dy}{1+y^2}= \frac{dx}{1+x^2} \\ \int \frac{dy}{1+y^2}= \int \frac{dx}{1+x^2} \\ arctgy=arctgx+C\\ y=tg(arctgx+C)$

4,4(37 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

plz11POMOGITE11plz

14.03.2022

Если N четно, $x\in\left[a_\frac{N}{2};a_{\frac{N}{2}+1}\right]$ , а если нечетно, $x=a_\frac{N+1}{2}$

Объяснение:

N=1: модуль не может принимать значения, меньшие 0. При этом $y(x)=0\Leftrightarrow |x-a_1|=0\Leftrightarrow x=a_1$ - а значит a_1 и есть оптимальное [будем называть оптимальными искомые значения переменной] значение.

N=2: Тут возможны 3 случая.

1) $x=a_1-b, b0 \Rightarrow x$

Тогда y=b+|a_1-a_2-b|=b+a_2-a_1+b=2b+a_2-a_1a_2-a_1

2) $x=a_2+b, b0 \Rightarrow a_1$

Тогда y=|a_2+b-a_1|+b=a_2+b-a_1+b=a_2-a_1+2ba_2-a_1

3) $a_1\leq x\leq a_2$

Тогда y=x-a_1+a_2-x=a_2-a_1

Значит, оптимальными будут все значения $x\in [a_1;a_2]$ .

N=2k:

Тогда функция представима в виде $y=(|x-a_1|+|x-a_{2k}|)+(|x-a_2|+|x-a_{2k-1}|)+...+(|x-a_k|+|x-a_{k+1}|)$ .

Для первого слагаемого оптимальными будут (как показано ранее) все точки отрезка $[a_1;a_{2k}]$ .

Для второго слагаемого оптимальными будут все точки отрезка $[a_2;a_{2k-1}]$ . При этом, по условию, имеем $[a_2;a_{2k-1}]\subset [a_1;a_{2k}]$ - то есть все точки этого отрезка оптимальны и для первого слагаемого

...

Для k-ого слагаемого оптимальными будут все точки отрезка $[a_k;a_{k+1}]$ . При этом $[a_k;a_{k+1}]\subset [a_{k-1};a_{k+2}]\subset...\subset [a_1;a_{2k}]$ - то есть все точки этого отрезка оптимальны и для остальных слагаемых. Но тогда все точки этого отрезка являются оптимальными для всего набора $a_1...a_{2k}$ .

N=2k+1:

Тогда функция представима в виде

$y=(|x-a_1|+|x-a_{2k+1}|)+(|x-a_2|+|x-a_{2k}|)+...+(|x-a_k|+|x-a_{k+2}|)+a_{k+1}$ .

Проведя k шагов аналогичных рассуждений, получим, что для набора $a_1...a_k,a_{k+2}...a_{2k+1}$ оптимален отрезок $[a_k;a_{k+2}]$ .

Для $a_{k+1}$ , как показано ранее, оптимально значение $x=a_{k+1}$ . При этом $a_{k+1}\in[a_k;a_{k+2}]$ - то есть это значение оптимально и для остальных слагаемых. Но тогда оно оптимально для всего набора $a_1...a_{2k+1}$ .

_____________________

Собственно, если N четно, ответом будет $\left[a_\frac{N}{2};a_{\frac{N}{2}+1}\right]$ , а если нечетно, $a_\frac{N+1}{2}$

4,6(77 оценок)

Ответ:

Пам904

14.03.2022

ответ: $\frac{57}{8}$

Объяснение:

$\sqrt{xy} + \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} +\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }$

Поскольку:

$\sqrt{xy} \geq 0$

То x,y либо имеют одинаковые знаки, либо один из них равен , но поскольку нас интересует наибольшее значение: x+7y , то целесообразно рассматривать:

$x\geq 0\\y\geq 0$

Откуда, с учетом ОДЗ имеем:

$0\leq x\leq 1\\0\leq y\leq 1$

Поскольку левая и правая часть равенства положительны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение ( в данном случае все радикалы не могут быть одновременно равны , также не трудно заметить, что удвоенные произведения в левой и правой части одинаковы и равны $2\sqrt{xy(1-x)(1-y)}$ , поэтому они уничтожаться)

Откуда, получим:

$xy + (1-x)(1-y) = 7x(1-y) + \frac{y(1-x)}{7}$

Применим такой хитрый прием, вычтем из обеих частей равенства удвоенное произведение $2\sqrt{xy(1-x)(1-y)}$ , но тогда слева и справа имеем квадрат разности:

$(\sqrt{xy} - \sqrt{(1-x)(1-y)})^2 = (\sqrt{7x(1-y)} -\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} })^2\\$

Оно равносильно совокупности двух уравнений:

$1.\sqrt{xy} - \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} -\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }\\2. \sqrt{(1-x)(1-y)} - \sqrt{xy} = \sqrt{7x(1-y)} -\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }$