Question

Айдите все значения параметра а прикаждом из которых система имеет 1 решение: { y+a=2x/(x+|x|); (x+a)^2=y+3

Answer 1

$\begin{equation*}\begin{cases}y+a=\frac{2x}{x+|x|}\\(x+a)^2=y+3\end{cases}\end{equation*}\Leftrightarrow\begin{equation*}\begin{cases}y=1-a\\y=(x+a)^2-3\\x0\end{cases}\end{equation*}$

В первом уравнении мы раскрыли модуль: при x > 0 уравнение имеет вид y + a = 1, при x ≤ 0 оно не определено.

График первого уравнения - прямая, параллельная оси Ox, которая определена при x > 0. График второго уравнения - парабола, её вершина имеет координаты (-a; -3). При движении прямой вниз парабола сдвигается влево, а при движении прямой вверх - вправо.

Система имеет одно решение, если прямая касается параболы или парабола пересекает её один раз.

1 случай. Касание. Прямая, которая касается параболы, имеет уравнение y = -3 ⇒ 1 - a = -3 ⇔ a = 4. Но тогда вершина параболы будет иметь координату (-4; -3), а при x < 0 первое уравнение не определено. a = 4 не подходит.

2 случай. Пересечение. Если бы прямая y = 1 - a была определена в точке x = 0, то парабола имела бы одно пересечение с прямой в некой точке (0; y₁), двигалась вправо, пока её левая ветвь вновь не пересекла прямую в точке (0; y₂). Но x = 0 не входит в область определения, поэтому это лишь меняет границы полуинтервала местами (т. е. если левая граница была исключена, а правая включена, то сейчас наоборот: левая включена, правая исключена). Подставим координаты (0; y) и составим уравнение:

$(0+a^2)-3=1-a\\a^2+a-4=0\\a_{1}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; a_{2}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$

Правая граница исключается, иначе не будет пересечений, левая включается, т. к. при таком a всё ещё будет одно пересечение.

ответ: $a\in[\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})$