1. При каком значении x значение выражения 0,7^20x−5 равно 1 ?
2. При каком значении x верно равенство (16/9)^x+1=(3/4)^8
3. Решите уравнение 3^7−0,5x=81√ 3.
4.Найдите корень уравнения 8^x−1=4/√2
5.Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций y=2,5^x+4 и y=(4/25)^x−2 .
ответ: 1. 0,25 , 2. - 5 , 3. 5 , 4. 1,5 , 5. 0.
Объяснение: Плавание вольным стилем
1. 0,7^(20x−5) =1
20x − 5 =0 ; 20x =5 ; x =5/20 =5*5 /20*5 =25 /100 = 0,25.
2. (16/9)^(x+1)=(3/4)^8 ; (4/3)²^(x+1) = (3/4)^8 ; (4/3)^2(x+1) = (3/4)^8 ;
(4/3)^2(x+1) = (3/4)^( -8) ; 2(x+1) = -8 ; x+1 = -4 ; x = -4 -1 ; x = -5 .
3. 3^(7−0,5x)=81√ 3 ; 3^(7−0,5x)=(3^4)*(3^0,5) ; 3^(7−0,5x)=3^(4+0,5) ;
7−0,5x = 4+0,5 ; - 0,5x = 4, 5 -7 ; - 0,5x = - 2, 5 ; x =5 .
4. 8^(x−1)=4/√2 ; (2³)^(x-1) =2² /( 2^ (1 /2) ) ; 2^( 3(x-1) ) =2 ^(2 -1/2) ;
3(x-1) ) =2 -1/2 ; x-1 = 1,5 /3 ; x = 1 +0,5 ; x = 1,5.
5. y=2,5^ (x+4) и y=(4/25)^(x−2) .
2,5^ (x+4) и y=(4/25)^(x−2) ; (5/2)^(x+4) = ( (2/5)² )^ (x−2) ;
(5/2)^(x+4) = ( (5/2)⁻² )^ (x−2) ; (5/2)^(x+4) = (5/2) ^ (-2 (x−2) ) ;
(5/2)^(x+4) = (5/2) ^ (-2x+4 ) ; x+4 = -2x+4 ; x+2x = 4-4 ; 3x =0 ; x=0.
а⁴ + b⁴ ≥ а³b + аb³
1)
а⁴ + b⁴ - а³b - аb³ ≥ 0
а³(а-b) - b³(а-b) ≥ 0
(а-b)(а³-b³) ≥0
(а-b)(а-b)(а²+аb+b²) ≥0
(а-b)²·(а²+аb+b²) ≥0
2)
Первая скобка всегда больше или равна 0, остаётся доказать, что вторая скобка тоже всегда больше или равна 0.
а²+аb+b² ≥0
a) Докажем для неотрицательных a и b.
(a²+ab+ab+b²)-ab ≥ 0
(a² + 2ab + b²) ≥ ab
(a+b)² ≥ ab
а+b ≥ √аb
Это неравенство справедливо как следствие из теоремы Коши для среднего арифметического и среднего геометрического:
(а+b)/2 ≥ √аb
Таким образом, всегда справедливо неравенство во второй скобке
(a²+ab+b²) ≥ 0.
2) Докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для отрицательных значений a и b.
a<0; b<0
a²>0; b²>0 - первое и третье слагаемые a² и b² всегда положительны
ab>0, как произведение двух отрицательных(минус × минус = плюс)
Сумма положительных слагаемых тоже положительна:
(a²+ab+b²) > 0
3) Докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для значений a и b, различных по знаку: a>0; b<0.
(a²+ab+ab+b²)-ab > 0
(a² + 2ab + b²) > ab
(a+b)² > ab
Это неравенство справедливо, т.к.
(a+b)² ≥ 0
ab < 0 (плюс × минус = минус)
Положительное число больше отрицательного.
Таким образом все три варианта доказывают справедливость неравенства
(а²+ab+b²)≥0. Что и требовалось доказать.
x = количество картофеля за час 1й бригады
y = количество картофеля за час 2й бригады
Первая бригада за 8 ч работы убрала картофеля столько же, сколько вторая бригада за 10 ч.
8x = 10y
Найди количество центнеров картофеля, которое убрала первая бригада за 8 ч
8x - ?
за один час она убирала на 18 ц больше, чем вторая бригада
x = y + 18
x = y + 18 умножаем на 8:
8x = 8y + 18*8
заменяем 8x на 10y:
10y = 8y + 18*8
переносим y в левую часть
2y = 18*8
y = 18*4
подставляем вместо y - 18*4
8x = 10 * 18 * 4 = 720 центнер
720 ц собрала первая бригада за 8 часов