Question

Найдите все целочисленные решение уравнения 3x^2y^2+4y^2=24x^2+48

Answer 1

$3 {x}^{2} {y}^{2} + 4 {y}^{2} = 24 {x}^{2} + 48 \\ (24 - 3 {y}^{2} ) {x}^{2} = 4 {y}^{2} - 48 \\ {x}^{2} = \frac{4 {y}^{2} - 48 }{24 - 3 {y}^{2} } = - \frac{4( {y}^{2} - 12) }{3( {y}^{2} - 8) } \geqslant 0 \\ \frac{( {y}^{2} - 12) }{( {y}^{2} - 8) } \leqslant 0 \\ \frac{(y -2 \sqrt{3})(y + 2 \sqrt{3} )}{(y - 2 \sqrt{2})(y + 2 \sqrt{2} ) } \leqslant 0$
Решая (на фото) получаем:
$- 2 \sqrt{3} \leqslant y < - 2 \sqrt{2} \: \: и \: \: 2 \sqrt{2} < y \leqslant 2 \sqrt{3}$
Этому условию удовлетворяет только у=-3 и у=3, подставляем:
${x}^{2} = - \frac{4( {3}^{2} - 12)}{3( {3}^{2} - 8)} = - \frac{4 \times ( - 3)}{3 \times 1} = 4 \\ x = 1 \: \: или \: \: x = - 1$
Т. к. у нас у^2, то при у=-3 будут те же корни.

ответ: (-1;-3); (-1;3); (1;-3); (1;3).