Question

Определить sin угла между векторами а(-1 : -2)в(3: 6)

Answer 1

Можно заметить, что эти векторы коллинеарны, так как их координаты - пропорциональные числа:

$\dfrac{3}{-1}=\dfrac{6}{-2}$

Значит, синус угла между такими векторами равен 0.

Можно рассуждать через скалярное произведение и косинус.

С одной стороны, скалярное произведение есть сумма попарных произведений координат:

$(\vec{a}\cdot \vec{b})=-1\cdot3+(-2)\cdot6=-15$

С другой стороны, скалярное произведение - это произведение длин векторов на косинус угла между ними:

$(\vec{a}\cdot \vec{b})=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{3^2+6^2}\cdot\cos\alpha= \sqrt{5}\cdot3 \sqrt{5}\cdot\cos\alpha= 15\cos\alpha$

Приравнивая два выражения, получим:

$15\cos\alpha=-15\\\cos\alpha=-1$

Далее, по основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^2\alpha =\sqrt{1-\cos\alpha} =\sqrt{1-(-1)^2} =0\\\Rightarrow \sin\alpha=0$

ответ: 0