Question

F(x)=x³-12x+3 определить производную функции в точке х0= -1. найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (-2; 3) и соответствующее значение аргумента

Answer 1

Итак, найдем производную от нашей функции :

$F(x) = x^{3} - 12x + 3$ ,

$F'(x) = 3x^{2} - 12$

Тогда посчитаем значение производной в точке $x_{0}$ :

$F'(x_{0}) = F'(-1) = 3*(-1)^{2} - 12 = 3 - 12 = -9$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо найти точки экстремума функции (в этих точках функция меняет монотонность) , приравняв производную функции к 0, а затем найти значения функции на концах отрезка и в экстремумах :

1. Находим точки экстремума :

$3x^{2} - 12 = 0$ ,

$x^{2} - 4 = 0$,

$x = 2 ; -2$

2. Находим значения функции в точках экстремума и на концах отрезка :

$x = -2$ ⇒ $F(-2) = (-2)^{3} - 12 * (-2) + 3 = -8 + 24 + 3 = 19$ ,

$x = 2$ ⇒ $F(2) = 2^{3} - 12*2 + 3 = 8 - 24 + 3 = -13$

$x = 3$ ⇒ $F(3) = 3^{3} - 12*3 + 3 = 27 - 36 + 3 = -6$

Отсюда делаем вывод, что наибольшее значение функции равно 19, оно достигается в точке $-2$ , наименьшее значение равно -13, и оно достигается в точке $2$