Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями функций у = х^2, у = 0 и х = 2 построим сначала графики этих функций. График функции у = 0 - прямая, которая задаёт ось ОХ; график функции х = 2 - прямая, параллельная оси ОУ и пересекающая ось ОХ в точке х =2. График функции у = х^2 - парабола, построена поточечно путём подбора значений координаты х и вычислением значения функции у в каждой такой точке. То есть:
1) х = -4, у = (-4)^2 = 16, на графике откладываем точки х = -4 и у = 16;
2) х = -3, у = (-3)^2 = 9, на графике откладываем точки х = -3 и у = 9;
3)х = -2, у = (-2)^2 = 4, на графике откладываем точки х = -2 и у = 4;
4)х = -1, у = (-1)^2 = 1, на графике откладываем точки х = -1 и у = 1;
5)х = 0, у = 0, на графике откладываем точки х = 0 и у = 0;
6)х = 4, у = 4^2 = 16, на графике откладываем точки х = 4 и у = 16;
7) х = 3, у = 3^2 = 9, на графике откладываем точки х = 3 и у = 9;
8)х = 2, у = 2^2 = 4, на графике откладываем точки х = 2 и у = 4;
9)х = 1, у = 1^2 = 1, на графике откладываем точки х = 1 и у = 0.
Заштрихованная на графике область является фигурой, площадь которой необходимо вычислить (площадь криволинейной трапеции). Вычисляется она по формуле определенного интеграла S = ∫f(x) dx - g(x) dx (верхний предел b, нижний предел a). Найдём верхний и нижний пределы интеграла. Для этого воспользуемся построенным графиком. Определим, на каком промежутке функция у = х^2 находится выше оси ОХ (так как значение площади не может быть числом отрицательным). Это отрезок [0;2], значит верхним пределом интеграла будет два (b = 2), нижним ноль (а = 0).
Вычислим определенный интеграл функции у = х^2 с пределами 2 и 0, значение которого и будет равно значению площади:
S = ∫(х^2)dx (верхний предел 2, нижний 0).
Интегрируем с формулы интегрирования:
∫х^ n dx = x^(n+1) / n+1,
и получаем выражение х^3/3.
Далее воспользуемся формулой Ньютона - Лейбница и получим значение площади, равное 8/3 или ~ 2,67 кв.ед.
ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2, х = 2, у= 0 равна 8/3 или ~ 2,67 кв.единиц.
Подробнее - на -
Ученик соберет прибор за х ч., тогда:
мастер за (х-8) - по условию, мастеру потребуеттся на 8 часов меньше.
Вся работа (сборка прибора) является целым, законченным, действием, поэтому может быть принята за 1 (за единицу).
Производительность труда показывает сколько продукции произведет работник( ученик, мастер) за 1 час:
производительность труда ученика = 1/х,мастера - 1/(х-8).общая производительность = 1/3 - треть прибора за 1 час соберут ученик и мастер, работая сообща значит:1/х+1/(х-8)=1/3 => x*(x-8)*3=3x²-24x - общий знаменатель
(3*(x-8)+3x)/(3x²-8x)=(x²-8x)/(3x²-8x)
3x-24+3x=x²-8x
-x²+14x-24=0
x²-14x+24=0
x₁+x₂=14
x₁*x₂=24
x₁=2 ч.
x₂=12 ч.
Если х=2, то (х-8)=-6 ч., время не может быть отрицательным - х≠2 ч.
Если х=12 ч., то (х-8)=4 ч.
Проверка: 1/12+1/4=
1/12+3/12=
4/12=1/3
ответ: Мастер может собрать прибор за 4 часа
б)
В)
23.