Для начала решим первое неравенство: log6x^2+5x(2x^2–3x+1) ≥ 0.
1. Разберемся с логарифмом: log6x^2. Логарифм с основанием 6 равен 1, поэтому просто учитываем это и получаем x^2 ≥ 1.
2. Рассмотрим второе слагаемое: 5x(2x^2–3x+1). Упростим его, умножив внутренние скобки: 5x(2x^2–3x+1) = 10x^3 – 15x^2 + 5x.
3. Теперь объединим два неравенства: x^2 ≥ 1 и 10x^3 – 15x^2 + 5x ≥ 0.
4. Решим первое неравенство. Найдем значения x, при которых x^2 ≥ 1. Поскольку квадрат числа неотрицательный, то нам нужно найти значения x, для которых x^2 равно или больше 1. Это означает, что x ≤ -1 или x ≥ 1.
5. Решим второе неравенство. Найдем значения x, при которых 10x^3 – 15x^2 + 5x ≥ 0. Проанализируем его значения в промежутках между корнями многочлена.
Многочлен 10x^3 – 15x^2 + 5x делится на x(x–1)(10x–5).
Заметим, что x ≤ -1, 0 < x < 1 и x > 0 - это три интервала, которые нам нужно проанализировать.
a) Для x ≤ -1:
Подставим -2 в многочлен: 10(-2)^3 – 15(-2)^2 + 5(-2) = -20 + 60 - 10 = 30.
Таким образом, многочлен положителен при x ≤ -1.
b) Для 0 < x < 1:
Подставим 0.5 в многочлен: 10(0.5)^3 – 15(0.5)^2 + 5(0.5) = 1.25 - 3.75 + 2.5 = 0.
Таким образом, многочлен равен 0 при x = 0.5.
c) Для x > 1:
Подставим 2 в многочлен: 10(2)^3 – 15(2)^2 + 5(2) = 80 - 60 + 10 = 30.
Таким образом, многочлен положителен при x > 1.
Из этого анализа мы можем заключить, что многочлен больше или равен 0 при x ≤ -1 и x ≥ 1.
Таким образом, решением системы неравенств являются x ≤ -1, 0 < x < 1 и x ≥ 1.
1. Разберемся с логарифмом: log6x^2. Логарифм с основанием 6 равен 1, поэтому просто учитываем это и получаем x^2 ≥ 1.
2. Рассмотрим второе слагаемое: 5x(2x^2–3x+1). Упростим его, умножив внутренние скобки: 5x(2x^2–3x+1) = 10x^3 – 15x^2 + 5x.
3. Теперь объединим два неравенства: x^2 ≥ 1 и 10x^3 – 15x^2 + 5x ≥ 0.
4. Решим первое неравенство. Найдем значения x, при которых x^2 ≥ 1. Поскольку квадрат числа неотрицательный, то нам нужно найти значения x, для которых x^2 равно или больше 1. Это означает, что x ≤ -1 или x ≥ 1.
5. Решим второе неравенство. Найдем значения x, при которых 10x^3 – 15x^2 + 5x ≥ 0. Проанализируем его значения в промежутках между корнями многочлена.
Многочлен 10x^3 – 15x^2 + 5x делится на x(x–1)(10x–5).
Заметим, что x ≤ -1, 0 < x < 1 и x > 0 - это три интервала, которые нам нужно проанализировать.
a) Для x ≤ -1:
Подставим -2 в многочлен: 10(-2)^3 – 15(-2)^2 + 5(-2) = -20 + 60 - 10 = 30.
Таким образом, многочлен положителен при x ≤ -1.
b) Для 0 < x < 1:
Подставим 0.5 в многочлен: 10(0.5)^3 – 15(0.5)^2 + 5(0.5) = 1.25 - 3.75 + 2.5 = 0.
Таким образом, многочлен равен 0 при x = 0.5.
c) Для x > 1:
Подставим 2 в многочлен: 10(2)^3 – 15(2)^2 + 5(2) = 80 - 60 + 10 = 30.
Таким образом, многочлен положителен при x > 1.
Из этого анализа мы можем заключить, что многочлен больше или равен 0 при x ≤ -1 и x ≥ 1.
Таким образом, решением системы неравенств являются x ≤ -1, 0 < x < 1 и x ≥ 1.