1) Сложение
{ 4x - y = 8
{ 3x^2 + y = 11
Складываем уравнения, у пропадает.
3x^2 + 4x = 19
3x^2 + 4x - 19 = 0
D = 4^2 + 4*3*19 = 16 + 228 = 244 = 4*61
x1 = (-4 - 2√61)/6 = (-2 - √61)/3
x2 = (-4 + 2√61)/6 = (-2 + √61)/3
Из 1 уравнения y = 4x - 8
y1 = (-8 - 4√61)/3 - 8 = (-32 - 4√61)/3;
y2 = (-8 + 4√61)/3 - 8 = (-32 + 4√61)/3
ответ: ((-2+-√61)/3; (-32+-4√61)/3)
2) Подстановка
{ 3x + y = 1
{ x^2 + y^2 + xy = 3
Подставляем
{ y = 1 - 3x
{ x^2 + (1 - 3x)^2 + x(1 - 3x) = 3
x^2 + 9x^2 - 6x + 1 - 3x^2 + x - 3 = 0
7x^2 - 5x - 2 = 0
D = 5^2 - 4*7(-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2
x1 = (5 - 9)/14 = - 4/14 = - 2/7; x2 = (5 + 9)/14 = 1
y1 = 1 - 3x = 1 - 3(-2/7) = 1 + 6/7 = 13/7
y2 = 1 - 3x = 1 - 3*1 = - 2
ответ: (-2/7; 13/7); (1; -2)
3) Решить систему. Подстановка
{ x^2 - 2x - 3y^2 = 0
{ x^2 + 2y^2 = 3
Подставляем
{ y^2 = (3 - x^2)/2 = 1,5 - 0,5x^2
{ x^2 - 2x - 3(1,5 - 0,5x^2) = 0
x^2 - 2x - 4,5 + 1,5x^2 = 0
Умножаем все на 2, избавляемся от дробей.
5x^2 - 4x - 9 = 0
D = 4^2 - 4*5(-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2
x1 = (4 - 14)/10 = - 10/10 = - 1
y^2 = 1,5 - 0,5*x1^2 = 1,5 - 0,5*1 = 1
y1 = - 1; y2 = 1
x2 = (4 + 14)/10 = 18/10 = 1,8
y^2 = 1,5 - 0,5*x2^2 = 1,5 - 0,5*3,24 = 1,5 - 1,62 = - 0,12 < 0 - не подходит.
ответ: (-1; -1); (-1; 1)
Решение. Каждое из уравнений системы является линейным уравнением с двумя неизвестными. Нам известно, что графиком такого уравнения является прямая. Построим графики этих уравнений в одной системе координат.
Как мы видим, графики этих прямых пересекаются в точке с координатами . Что дает нам этот факт? Дело в том, что если точка принадлежит графику уравнения, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению, то есть обращают его в верное числовое равенство. Так как точка пересечения одновременно принадлежит двум графикам уравнений, то ее координаты удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, то есть координаты этой точки являются решением системы уравнений.
Мы использовали так называемый графический решения системы уравнений.