Пусть в 8а учится A учеников, в 8б учится B учеников. По условию, A+B=54. Пусть ученик из 8а дружит с учеником из 8б. Тогда у них есть дружественная двусторонняя связь. Это значит, что если учащийся x из 8а дружит с учащимся y из 8б, то и учащийся y из 8б дружит с учащимся x из 8а. Если рассматривать относительно 8а, то у каждого учащегося по 4 дружественных связей, то есть всего количество этих связей равно 4A. Если рассматривать относительно 8б, то у каждого учащегося по 5 дружественных связей, то есть всего количество этих связей равно 5B. Так как, как говорилось раньше, все связи двусторонние, то 4A=5B. Отсюда следует система уравнений: A+B=54, 4A-5B=0.
Функция f(x) называется возрастающей, если для для любых двух чисел таких, что x₁ < x₂, выполняется условие f(x₁) < f(x₂).
Т.е. для возрастающей функции при x₁ < x₂ разность f(x₁) - f(x₂) < 0.
Выберем два последовательных числа, n и (n + 1). У нас выполняется условие n < n + 1.
Оценим разность значений функции при этих значениях аргумента:
f(n) = 3n - 5
f(n+1) = 3(n + 1) - 5 = 3n + 3 - 5 = 3n - 2
f(n) - f(n+1) = 3n - 5 - (3n - 2) = 3n - 5 - 3n +2 = -3
f(n) - f(n+1) = - 3 < 0
⇒ f(n) < f(n+1) функция возрастающая. Доказано.