Нанесём на числовую прямую, не забыв про число 5 из знаменателя: 357>
Подставим значения из промежутков в производную и посмотрим знаки производной при этих числах:
+ 3 - 5 - 7 + > Точка минимума - точка, где производная меняет знак с минуса на плюс. Точка максимума - точка, где производная меняет знак с плюса на минус.
Точка максимума - 3. Но 3 не входит в ОО. Точка минимума - 7. Значит, посчитаем значение функции в точках 6, 7 и 8. f(6) = 2.5 f(7) = 2.25 f(8) = 7/3
ответ: наибольшее значение - 2.5. Наименьшее значение - 2.25.
Рассмотрим критическую точку модуля: 4x + 3 = 0 Значит, при x = -3/4, модуль меняет знак. Подставим под модуль число меньшее -3/4. Тогда под модулем получим отрицательное значение. Тогда, при x ≤ 3/4, модуль раскрываем отрицательно.
Рассмотрим нашу функцию на промежутке (-∞; -3/4]: y = x² + 4x + 3. Строим график этого уравнения хотя бы по точкам. Но помним, что этот график лежит на отрезке (-∞; -3/4].
Рассмотрим нашу функцию на промежутке (-3/4; +∞): y = x² - 4x - 3. Строим этот график. Но опять же, он лежит на (-3/4; +∞), а не на всей области X. Если первый график в точке -3/4 не накладывается на второй, не забываем выбить точку в x = -3/4 у второго графика.
Получили график, который я прикрепил как рисунок. Видим, что прямая y = m будет иметь три точки пересечения с нашим графиком, при m = -1, и m равному значению, при котором наши графики меняются. Чтобы найти это значение, подставим X = -3/4 в наше уравнение. Получаем Y = 0.5625. Получаем, m = -1 и m = 0.5625
y' = 1/4 - 1/(x-5)²
Приводим к общему знаменателю:
y' = ((x - 5)² - 4) / (4(x-5)²)
y' = (x² - 10x + 21) / (4(x-5)²) Найдем нули производной:
x² - 10x + 21 = 0
D = 100 - 84 = 4²
x₁ = (10 - 4) / 2= 3 x₂ = (10 + 4) / 2= 7
Нанесём на числовую прямую, не забыв про число 5 из знаменателя:
357>
Подставим значения из промежутков в производную и посмотрим знаки производной при этих числах:
+ 3 - 5 - 7 + >
Точка минимума - точка, где производная меняет знак с минуса на плюс.
Точка максимума - точка, где производная меняет знак с плюса на минус.
Точка максимума - 3. Но 3 не входит в ОО.
Точка минимума - 7.
Значит, посчитаем значение функции в точках 6, 7 и 8.
f(6) = 2.5
f(7) = 2.25
f(8) = 7/3
ответ: наибольшее значение - 2.5. Наименьшее значение - 2.25.