Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=log1\2(x+1) на отрезке (0; 3)

Answer 1

На данном отрезке log0.5(x) спадает, а корень-возрастает , а значит, что наименьшее значение будет в точке x=21, log0.5(sqrt(3*21+1))=log0.5(sqrt(64))=log0.5(8)=-3

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово и разберём каждый шаг для лучшего понимания.

Шаг 1: Постановка задачи.
Нам задана функция f(x) = log1/2(x+1), а мы должны найти ее наименьшее значение на отрезке (0; 3).

Шаг 2: Нахождение производной функции.
Чтобы найти точку минимума или максимума функции, мы сначала найдем ее производную. Для функции f(x) = log1/2(x+1) мы можем использовать правило дифференцирования для логарифма:

(f(x))' = (log1/2(x+1))' = (1/ln(1/2))(1/(x+1)) * 1 = 1/(ln(1/2)(x+1)).

Шаг 3: Нахождение критических точек.
Для того чтобы найти точку минимума или максимума, мы должны найти критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Производная нашей функции равна:

1/(ln(1/2)(x+1)) = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем обратить его и решить новое уравнение:

ln(1/2)(x+1) = 1.

Шаг 4: Решение уравнения.
Решим уравнение ln(1/2)(x+1) = 1:

ln(1/2)(x+1) = 1.
(x+1) = (1/2)^1.
(x+1) = 1/2.
x = 1/2 - 1.

Получаем значение x = -1/2.

Шаг 5: Проверка критических точек.
Проверим, является ли найденная точка критической точкой. Для этого возьмем вторую производную функции:

(f(x))'' = 1/(x+1)^2 * ln(1/2).

Подставим вторую производную найденное ранее значение x = -1/2:

(f(-1/2))'' = 1/((-1/2)+1)^2 * ln(1/2).
= 1/(1/2)^2 * ln(1/2).
= 4 * ln(1/2).

Так как ln(1/2) < 0, то получается, что (f(-1/2))'' > 0.

Это означает, что найденная точка x = -1/2 является точкой минимума функции.

Шаг 6: Определение наименьшего значения функции.
Теперь, когда мы нашли точку минимума функции, мы можем найти значение функции в этой точке f(-1/2):

f(-1/2) = log1/2((-1/2)+1) = log1/2(1/2) = 1.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = log1/2(x+1) на отрезке (0; 3) равно 1.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам лучше понять решение данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!