Question

Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у=1/4х^2 и прямая у=5х-16. если точки пересечения существуют, то найдите их координаты. за ответ

Answer 1

Если графики пересекаются, у них есть общие точки. То есть надо приравнять функции:
(1/4)х² = 5х - 16.
(1/4)х² - 5х + 16 = 0.
Решаем уравнение 0.25*x^2-5*x+16=0:
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*0.25*16=25-4*0.25*16=25-16=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(2root9-(-5))/(2*0.25)=(3-(-5))/(2*0.25)=(3+5)/(2*0.25)=8/(2*0.25)=8/0.5=16;
x_2=(-2root9-(-5))/(2*0.25)=(-3-(-5))/(2*0.25)=(-3+5)/(2*0.25)=2/(2*0.25)=2/0.5=4.
Есть 2 точки пересечения:
х1 = 4      у1 = 5*4 - 16 = 20 - 16 = 4.
х2 = 16    у2 = 5*16 - 16 = 80 - 16 = 64.

Answer 2

1) Вершина параболы y = x^2 - 8x + 7 находится в точке
x0 = -b/(2a) = 8/2 = 4; y(x0) = 4^2 - 8*4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9
ответ: -9

2) Если две кривые пересекаются, то уравнение из них имеет корни.
1/(4x^2) = 5x - 16
20x^3 - 64x^2 - 1 = 0
Кубическое уравнение, прямо не решается, можно подобрать корни.
y(0) = -1 < 0
y(1) = 20 - 64 - 1 = -45 < 0
y(2) = 20*8 - 64*4 - 1 = 160 - 256 - 1 = -93 < 0
y(3) = 20*27 - 64*9 - 1 = 540 - 576 - 1 = -37 < 0
y(4) = 20*64 - 64*16 - 1 = 1280 - 1024 - 1 = 255 > 0
Значит, 3 < x < 4
Очевидно, при x < 0 будет y < 0, поэтому проверять нет смысла.
Уточняем корень.
y(3,2) = 20*3,2^3 - 64*3,2^2 - 1 = 655,36 - 655,36 - 1 = -1 < 0
y(3,3) = 20*3,3^3 - 64*3,3^2 - 1 = 718,74 - 696,96 - 1 = 20,78 > 0
3,2 < x < 3,3
y(3,21) = 20*3,21^3 - 64*3,21^2 - 1 = 661,52322 - 659,4624 - 1 = 1,06082
3,2 < x < 3,21
y(3,205) = 20*3,205^3 - 64*3,205^2 - 1 = 658,437 - 657,41 - 1 = 0,027 ~ 0
x ~ 3,205; y1 ~ 1/(4*3,205^2) ~ 0,024338; y2 ~ 5*3,205 - 16 = 0,025

Если во 2 номере написано (1/4)*x^2 = 5x - 16, то решение совсем другое.
(1/4)*x^2 - 5x + 16 = 0
x^2 - 20x + 64 = 0
По теореме Виета
(x - 4)(x - 16) = 0
x1 = 4; y(4) = (1/4)*4^2 = 4
x2 = 16; y(16) = (1/4)*16^2 = 64

Answer 3

1. $y=x^2-8x+7$ . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, минимальное значение функции соответствует вершине параболы.
$x_B=- \frac{b}{2a} =- \frac{-8}{2} =4$
$y_B=4^2-8*4+7=16-32+7=-9$
2. $y= \frac{1}{4} x^2; y=5x-16$
Приравняем правые части. Если будет хотя бы одно решение, то парабола и прямая пересекаются в точке этого решения.
$\frac{1}{4} x^2=5x-16$
$\frac{1}{4} x^2-5x+16=0$
$D=25-4* \frac{1}{4} *16=25-16=9$
$x_1= \frac{5+3}{2* \frac{1}{4} }=16 ; x_2=\frac{5-3}{2* \frac{1}{4} } =4$
Так как уравнение имеет два действительных корня, то графики функций пересекаются в двух точках. Найдем координаты у1 и у2, подставив найденные значения х1 и х2 в любое из уравнений заданных функций.
$y_1= \frac{1}{4} *16^2=64; y_2= \frac{1}{4}*4^2=4$
Итак, парабола и прямая пересекаются в точках (16;64), (4;4).