Решение не строгое! Доказательств нет. Чтобы не было переноса в разряд тысяч, возможны 2 варианта: 1) есть одно слагаемое 2000 (возможно слагаемое 2001 и больше, но чем больше слагаемое, тем меньше остается из суммы 2036 на другие слагаемые, и вероятно, тем меньше будет этих слагаемых) 2) есть два слагаемых 1000 и 1001 (с той же оговоркой)
Если выбрать 1) вариант, то от суммы 2036 остается 2036-2000 = 36 Теперь первоначальная задача относится к числу 36, а не 2036. Не нужно в погоне за максимальным числом слагаемых пытаться получить число 36, складывая единицы. 1+2+3+4 - уже получается перенос в разряд десятков. Значит, единицы нужно комбинировать с двузначными числами второго, третьего и четвертого десятков (1_, 2_, 3_ ). Двузначные числа лучше брать самые маленькие в своем десятке (_0, _1, _2, _3), чтобы избежать переноса и дать возможность добрать сумму единицами. Рассмотрим самые перспективные варианты:
а) 11+12+13 = 36 (3 слагаемых) - плохой вариант, для единиц ничего не осталось, 36 получено тремя двузначными слагаемыми. итого 2000 + 11+12+13 = 2036 (4 слагаемых)
б) 10+11+12+1+2 = 36 (5 слагаемых) - здесь использованы минимально возможные двузначные числа и минимально возможные единицы итого 2000 + 10+11+12+1+2=2036 (6 слагаемых)
Вариант 2) не дает выигрыша, поскольку 1000 + 1001 = 2001, и при сложении придется убирать слагаемое 1. В варианте а) нет слагаемого 1, убирать его не надо, но слагаемое 11 нужно заменить на 10. Так что для этого варианта число слагаемых увеличится на 1, но все равно это будет не лучший вариант:. 1000+1001+10+12+13 = 2036 (5 слагаемых)
Наилучшие варианты б) и в) дают 6 слагаемых: 2000 + 10+11+12+1+2=2036 2000 + 20+10+1+2+3 = 2036
Понятно, что цифра сотен в каждом слагаемом равна 0. Т.к. нет переносов, то сумма всех цифр во всех слагаемых должна равняться 2+0+3+8=13. Чтобы количество слагаемых было максимальным, сумма цифр в каждом слагаемом должна быть минимальной. Возможны только три слагаемых с суммой цифр 1: 1000, 0010, 0001 (будем писать старшие нули, чтобы легче было на это смотреть). Также, всего имеется 6 возможных различных слагаемых с суммой цифр 2: 2000, 0020, 0002, 1010, 1001, 0011. Значит, что бы получить сумму всех цифр 13 и иметь максимальное число слагаемых, нужно взять 3 слагаемых с суммой цифр равной 1 в каждом слагаемом, и 5 слагаемых с суммой цифр равной 2. Таким образом, ясно, что количество слагаемых не превосходит 3+5=8.
Покажем, что 8 слагаемых нельзя сделать. Предположим, что можно. Тогда, как уже было сказано, обязательно должны быть слагаемые 1000 0010 0001 Т.к. итоговая цифра тысяч равна 2, то еще должно быть только одно слагаемое с цифрой тысяч равной 1, т.е. должно быть одно слагаемое вида 1010 или 1001 (у них сумма цифр уже 2). Все остальные слагаемые должны иметь 0 в разряде тысяч (а также сотен) и сумму цифр 2, поэтому для них остается только 3 варианта: 0020, 0002, 0011. Но это всего дает 3+1+3=7 слагаемых.Т.е. обязано быть слагаемое с суммой цифр больше 2. Но тогда слагаемых не 8 штук, а меньше.
Представить 2038 в виде 7 слагаемых без переносов можно: 1000 0010 0001 1001 0020 0002 0004
Чтобы не было переноса в разряд тысяч, возможны 2 варианта:
1) есть одно слагаемое 2000 (возможно слагаемое 2001 и больше, но чем больше слагаемое, тем меньше остается из суммы 2036 на другие слагаемые, и вероятно, тем меньше будет этих слагаемых)
2) есть два слагаемых 1000 и 1001 (с той же оговоркой)
Если выбрать 1) вариант, то от суммы 2036 остается 2036-2000 = 36
Теперь первоначальная задача относится к числу 36, а не 2036.
Не нужно в погоне за максимальным числом слагаемых пытаться получить число 36, складывая единицы. 1+2+3+4 - уже получается перенос в разряд десятков. Значит, единицы нужно комбинировать с двузначными числами второго, третьего и четвертого десятков (1_, 2_, 3_ ). Двузначные числа лучше брать самые маленькие в своем десятке (_0, _1, _2, _3), чтобы избежать переноса и дать возможность добрать сумму единицами.
Рассмотрим самые перспективные варианты:
а) 11+12+13 = 36 (3 слагаемых) - плохой вариант, для единиц ничего не осталось, 36 получено тремя двузначными слагаемыми.
итого 2000 + 11+12+13 = 2036 (4 слагаемых)
б) 10+11+12+1+2 = 36 (5 слагаемых) - здесь использованы минимально возможные двузначные числа и минимально возможные единицы
итого 2000 + 10+11+12+1+2=2036 (6 слагаемых)
в) 20+10+1+2+3 = 36 (5 слагаемых)
итого 2000 + 20+10+1+2+3 = 2036 (6 слагаемых)
г) 30+1+2+3 = 36 (4 слагаемых)
итого 2000 + 30+1+2+3 = 2036 (5 слагаемых)
Вариант 2) не дает выигрыша, поскольку 1000 + 1001 = 2001, и при сложении придется убирать слагаемое 1. В варианте а) нет слагаемого 1, убирать его не надо, но слагаемое 11 нужно заменить на 10. Так что для этого варианта число слагаемых увеличится на 1, но все равно это будет не лучший вариант:.
1000+1001+10+12+13 = 2036 (5 слагаемых)
Наилучшие варианты б) и в) дают 6 слагаемых:
2000 + 10+11+12+1+2=2036
2000 + 20+10+1+2+3 = 2036